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我们来研究一个有趣的概率问题。每次扔一枚硬币，正面和反面出现的概率都是百分之五十。我们的目标是连续出现两次正面就停止投掷。问题是：要达到这个目标，平均需要投掷多少次硬币呢？
为了解决这个问题，我们使用状态转移的方法。定义三个状态：状态零表示初始状态或刚投出反面，状态一表示刚投出一次正面，状态二表示连续投出两次正面，游戏结束。从状态零投出正面进入状态一，投出反面仍在状态零。从状态一投出正面进入状态二结束游戏，投出反面回到状态零。
现在我们建立方程组。设E零为从状态零到结束的期望次数，E一为从状态一到结束的期望次数。从状态零出发，每次投掷消耗一次，有二分之一概率留在状态零，二分之一概率进入状态一。从状态一出发，每次投掷消耗一次，有二分之一概率结束游戏，二分之一概率回到状态零。
现在我们来求解这个方程组。将第二个方程E一等于一加二分之一E零代入第一个方程，得到E零等于一加二分之一E零加二分之一乘以括号一加二分之一E零。化简后得到E零等于二分之三加四分之三E零。移项得到四分之一E零等于二分之三，因此E零等于六。所以连续出现两次正面所需要投掷硬币次数的期望是六次。