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我们来分析一个物理问题：在一个半径为R的四分之一圆弧滑槽上，放置了一条质量为m的铁链。我们需要求出这条铁链的重力势能。首先让我们建立坐标系，以滑槽的底部为原点。
我们建立直角坐标系，以滑槽的底部为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴。四分之一圆弧可以用参数方程表示：x等于R乘以余弦θ，y等于R乘以正弦θ，其中θ从0变化到π/2。铁链沿着这个圆弧均匀分布。
为了求解铁链的重力势能，我们采用微元法。在铁链上取一小段微元，长度为ds，质量为dm。这个微元距离地面的高度为y，等于R乘以正弦θ。根据重力势能的定义，这个微元的重力势能为dEp等于dm乘以g乘以y。
现在我们建立积分表达式。首先确定铁链的线密度λ，等于总质量m除以弧长π R除以2。微元质量dm等于λ乘以弧长微元ds，而ds等于R乘以dθ。因此dm等于λ乘以R乘以dθ。将这些代入重力势能表达式，得到总的重力势能等于从0到π/2对λgR²sinθ的积分。