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极限是微积分中最重要的基础概念之一。它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。比如这个函数，虽然在x等于1处没有定义，但当x无限接近1时，函数值无限接近2，我们就说这个函数在x趋近于1时的极限是2。
在研究极限时，我们需要分别考虑左极限和右极限。左极限是从左侧趋近某点时函数的极限值，右极限是从右侧趋近时的极限值。只有当左极限和右极限都存在且相等时，该点的极限才存在。如图所示，这个函数在x等于1处的左极限是2，右极限是2.5，由于左右极限不相等，所以在x等于1处极限不存在。
极限的严格数学定义叫做ε-δ定义。它的含义是：对于任意给定的正数ε，无论多么小，都存在一个正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，函数值f(x)与极限值L的距离就小于ε。这个定义精确地描述了函数值可以任意接近极限值的概念。图中绿色区域表示ε邻域，橙色区域表示δ邻域。
极限有一些重要的运算法则。如果两个函数的极限都存在，那么它们的和的极限等于极限的和，积的极限等于极限的积，商的极限等于极限的商（分母极限不为零）。图中展示了两个函数f(x)等于x和g(x)等于2，当x趋近于2时，f(x)的极限是2，g(x)的极限是2，所以它们和的极限是4。