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我们需要证明函数 f(x) = x³ - 3x + 1 在实数域内至少存在三个不同的实根。首先让我们观察这个三次函数的基本图像特征。从图像可以看出，这是一个标准的三次函数，具有典型的S形曲线。
为了分析函数的性质，我们首先对函数求导。f'(x) = 3x² - 3，可以因式分解为 3(x² - 1)，进一步分解为 3(x-1)(x+1)。令导数等于零，得到两个临界点：x = -1 和 x = 1。这两个点在函数图像上对应着函数可能的极值点。
根据导数的符号，我们可以确定函数的单调性。当x小于负1时，导数大于0，函数递增；当x在负1和1之间时，导数小于0，函数递减；当x大于1时，导数又大于0，函数再次递增。这说明函数在x等于负1处取得极大值，在x等于1处取得极小值。
现在我们计算函数在两个临界点处的极值。当x等于负1时，f(-1) = (-1)³ - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3，这是极大值。当x等于1时，f(1) = 1³ - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1，这是极小值。因此函数在点(-1, 3)处取得极大值3，在点(1, -1)处取得极小值-1。
通过前面的计算，我们发现函数在极大值点f(-1) = 3大于0，在极小值点f(1) = -1小于0。这个符号变化非常重要，因为它告诉我们函数从正值变为负值，再变回正值。根据连续函数的性质，函数值符号的改变必然意味着存在零点。