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我们来分析这道中考几何题。首先建立坐标系，标记已知点A坐标为2逗号0，B坐标为0逗号2。根据题目条件，点C满足BC等于1，点M是线段AC的中点。我们需要连接OM，求OM的最大值。
关键观察是，由于BC等于1，点C必须在以B为圆心、半径为1的圆上运动。这个圆就是我们所说的隐圆。让我们看看当点C沿着这个隐圆运动时会发生什么。隐圆将抽象的约束条件BC等于1转化为直观的几何图形，这是解决此类问题的重要工具。
现在应用中位线定理。由于M是AC的中点，根据向量运算，OM向量等于OA向量加OC向量的一半。这个关系非常重要，它将我们要求的OM长度与已知的OA和变化的OC联系起来。让我们观察当C在隐圆上运动时，M点如何变化。
通过向量关系分析，当C在以B为圆心的单位圆上运动时，M点的轨迹形成一个新的圆。这个圆的圆心坐标是OA向量加OB向量的一半，即坐标1逗号1。圆的半径是原圆半径的一半，即二分之一。这是一个美妙的几何变换结果。
现在求解OM的最大值。M点在以坐标1逗号1为圆心、半径为二分之一的圆上运动。首先计算原点O到圆心的距离，等于根号2。OM的最大值出现在O、圆心、M三点共线且M在远离O的一侧时，等于根号2加二分之一。因此答案是选项B。