视频字幕
圆周率π是数学中最重要的常数之一。它定义为任意圆的周长与其直径的比值。无论圆的大小如何变化，这个比值始终保持不变，约等于3.14159。让我们通过动画来观察不同大小的圆，验证这个神奇的常数。
阿基米德是第一个系统计算圆周率的数学家。他的方法是用正多边形来逼近圆周。从正六边形开始，阿基米德计算内接多边形和外切多边形的周长，这样就得到了圆周率的上界和下界。随着边数的增加，这两个界限越来越接近真实的π值。
圆周率π是数学中最重要的常数之一，它表示圆的周长与直径的比值。自古以来，数学家们就试图精确计算π的值，从古代的几何方法到现代的级数展开，π的计算精度不断提高。
古希腊数学家阿基米德在公元前250年左右发明了计算π的几何方法。他使用正多边形来逼近圆，通过计算内接和外切多边形的周长，获得π的上下界。阿基米德从正六边形开始，逐步增加边数到正96边形，最终得到π在3.140845和3.142857之间。
中国古代数学家刘徽在公元263年提出了著名的割圆术。他的方法与阿基米德类似，但更加系统化。刘徽从正六边形开始，通过几何推导得出了边长的递推公式，可以依次计算正十二边形、正二十四边形等的周长。最终他计算到正九十六边形，得到了π约等于3.14的精确结果。
随着数学的发展，人们发现了许多计算π的级数展开方法。莱布尼茨级数虽然简单，但收敛很慢。马钦公式大大提高了计算效率，被用于手工计算π的数百位小数。拉马努金发现的级数收敛极快，现代超级计算机使用类似的级数已经能够计算出π的数万亿位小数。
今天，π已经成为数学和科学中最重要的常数之一。它不仅出现在几何学和三角学中，还广泛应用于物理学的波动理论、概率论中的正态分布、信号处理中的傅里叶变换等。从古代数学家的几何方法到现代计算机的高精度计算，π的计算历程展现了人类对精确性的不懈追求和数学的美妙。
从几何方法过渡到解析方法，数学家们发现了用无穷级数计算π的方法。最著名的是莱布尼茨级数：π除以4等于1减去三分之一加上五分之一减去七分之一，如此交替进行。虽然这个级数收敛较慢，但它展示了用无穷级数计算π的基本思想。现代数学中还有马青公式等收敛更快的级数。
圆周率π是圆周长与直径的比值，是数学中最著名的常数之一。从古代巴比伦人到现代计算机，人类一直在寻求更精确的π值计算方法。
古希腊数学家阿基米德首次用严格的数学方法计算π值。他用内接和外切正多边形夹逼圆，随着边数增加，得到越来越精确的π值估计。
17世纪德国数学家莱布尼茨发现了著名的π/4级数。这个无穷级数虽然收敛很慢，但为π的计算提供了新的理论基础。我们可以看到随着项数增加，估计值逐渐接近π。
18世纪英国数学家马青发现了著名的马青公式，它利用反正切函数的级数展开，收敛速度极快。现代超级计算机正是使用类似的快速收敛公式来计算π的数万亿位小数。
蒙特卡罗方法是一种基于随机抽样的数值计算方法。计算π时，我们在单位正方形内随机投点，然后统计落在四分之一圆内的点数。由于圆的面积是π除以4，正方形面积是1，所以π约等于4倍的圆内点数与总点数的比值。随着样本数量的增加，估算精度会逐步提高。