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一元二次方程是初中数学的重要内容。它的标准形式是ax²+bx+c=0，其中a不等于0。这里a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。让我们看几个具体例子：x²-5x+6=0中，a=1，b=-5，c=6；2x²+3x-1=0中，a=2，b=3，c=-1；-x²+4x+5=0中，a=-1，b=4，c=5。
因式分解法是解一元二次方程的重要方法。它的原理是如果两个数的乘积为0，那么至少有一个数为0。以x²-5x+6=0为例，我们需要找到两个数，使它们相乘得6，相加得-5。这两个数是-2和-3，所以方程可以分解为(x-2)(x-3)=0。因此x-2=0或x-3=0，解得x=2或x=3。我们可以验证：当x=2时，2²-5×2+6=0；当x=3时，3²-5×3+6=0，都成立。
配方法是解一元二次方程的通用方法。它的原理是利用完全平方公式，将方程配成完全平方式。以x²+6x+5=0为例，首先移项得到x²+6x=-5。然后配方，在等式两边同时加上9，得到x²+6x+9=-5+9，即(x+3)²=4。开平方得到x+3=±2，所以x=-3+2=-1或x=-3-2=-5。验证：当x=-1时，(-1)²+6(-1)+5=0；当x=-5时，(-5)²+6(-5)+5=0，都成立。
求根公式是解一元二次方程最通用的方法。对于方程ax²+bx+c=0，求根公式是x等于负b加减根号下b²减4ac，再除以2a。其中b²-4ac叫做判别式，用希腊字母Δ表示。以2x²-7x+3=0为例，首先确定系数a=2，b=-7，c=3。然后计算判别式Δ=(-7)²-4×2×3=49-24=25。代入公式得x=(7±√25)/4=(7±5)/4。所以x₁=(7+5)/4=3，x₂=(7-5)/4=1/2。验证结果都正确。
判别式与方程根的关系是一元二次方程的重要性质。判别式Δ等于b²减4ac，它决定了方程根的性质。当Δ大于0时，方程有两个不等的实根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实根；当Δ小于0时，方程无实根。让我们看三个例子：对于x²-4x+3=0，Δ=16-12=4大于0，有两个不等实根x=3和x=1。对于x²-4x+4=0，Δ=16-16=0，有两个相等实根x=2。对于x²-4x+5=0，Δ=16-20=-4小于0，无实根。