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一元二次方程是初中数学的重要内容。它的标准形式是ax²+bx+c=0,其中a不等于0。这里a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。让我们看几个具体例子:x²-5x+6=0中,a=1,b=-5,c=6;2x²+3x-1=0中,a=2,b=3,c=-1;-x²+4x+5=0中,a=-1,b=4,c=5。
因式分解法是解一元二次方程的重要方法。它的原理是如果两个数的乘积为0,那么至少有一个数为0。以x²-5x+6=0为例,我们需要找到两个数,使它们相乘得6,相加得-5。这两个数是-2和-3,所以方程可以分解为(x-2)(x-3)=0。因此x-2=0或x-3=0,解得x=2或x=3。我们可以验证:当x=2时,2²-5×2+6=0;当x=3时,3²-5×3+6=0,都成立。
配方法是解一元二次方程的通用方法。它的原理是利用完全平方公式,将方程配成完全平方式。以x²+6x+5=0为例,首先移项得到x²+6x=-5。然后配方,在等式两边同时加上9,得到x²+6x+9=-5+9,即(x+3)²=4。开平方得到x+3=±2,所以x=-3+2=-1或x=-3-2=-5。验证:当x=-1时,(-1)²+6(-1)+5=0;当x=-5时,(-5)²+6(-5)+5=0,都成立。
求根公式是解一元二次方程最通用的方法。对于方程ax²+bx+c=0,求根公式是x等于负b加减根号下b²减4ac,再除以2a。其中b²-4ac叫做判别式,用希腊字母Δ表示。以2x²-7x+3=0为例,首先确定系数a=2,b=-7,c=3。然后计算判别式Δ=(-7)²-4×2×3=49-24=25。代入公式得x=(7±√25)/4=(7±5)/4。所以x₁=(7+5)/4=3,x₂=(7-5)/4=1/2。验证结果都正确。
判别式与方程根的关系是一元二次方程的重要性质。判别式Δ等于b²减4ac,它决定了方程根的性质。当Δ大于0时,方程有两个不等的实根;当Δ等于0时,方程有两个相等的实根;当Δ小于0时,方程无实根。让我们看三个例子:对于x²-4x+3=0,Δ=16-12=4大于0,有两个不等实根x=3和x=1。对于x²-4x+4=0,Δ=16-16=0,有两个相等实根x=2。对于x²-4x+5=0,Δ=16-20=-4小于0,无实根。