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三角形是几何学中最基本的图形之一。它由三条线段围成，具有三个顶点A、B、C，三条边和三个内角。根据边长关系，三角形可分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。根据角度特征，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形最重要的性质是内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180度。
三角形有四种重要的特殊线段。高线是从顶点向对边作的垂线，用于计算面积。中线连接顶点与对边中点，三条中线交于重心。角平分线平分顶点角，三条角平分线交于内心。垂直平分线垂直平分三角形的边，三条垂直平分线交于外心。这些特殊线段和交点在解决几何问题中具有重要作用。
全等三角形是形状和大小完全相同的三角形。判定全等三角形有五种方法：SSS判定法要求三边对应相等；SAS判定法要求两边及其夹角对应相等；ASA判定法要求两角及其夹边对应相等；AAS判定法要求两角及其中一角的对边相等；HL判定法专用于直角三角形，要求斜边和一条直角边对应相等。掌握这些判定方法是解决几何证明问题的基础。
相似三角形是形状相同但大小可能不同的三角形。判定相似三角形有三种方法：AA判定法要求两角对应相等；SAS判定法要求两边成比例且夹角相等；SSS判定法要求三边对应成比例。相似三角形有重要性质：对应边成比例，这个比值称为相似比；面积比等于相似比的平方；周长比等于相似比。相似三角形在解决实际测量和计算问题中有广泛应用。
勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它描述了直角三角形中三边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理也很重要：如果三角形的三边满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形就是直角三角形。常见的勾股数有3-4-5、5-12-13等。勾股定理在实际生活中有广泛应用，可以用来计算距离、高度、判断角度是否为直角等。