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对数函数是指数函数的反函数。当我们有指数函数y等于a的x次方时,它的反函数就是对数函数y等于以a为底x的对数。对数函数的定义域是零到正无穷,值域是负无穷到正无穷。图中蓝色曲线是指数函数,红色曲线是对数函数,它们关于直线y等于x对称,体现了互为反函数的关系。
在实际应用中,最常用的对数函数有两种。第一种是常用对数,记作lg x,底数是10。第二种是自然对数,记作ln x,底数是自然常数e,约等于2.718。图中蓝色曲线是常用对数,红色曲线是自然对数。可以看到,常用对数在x等于10时函数值为0,自然对数在x等于e时函数值为1,而两个函数都在x等于1时函数值为0。
现在我们通过描点法来绘制对数函数的图象。以y等于log底数2的x为例,我们先计算一些关键点的坐标。当x等于四分之一时,y等于负2;当x等于二分之一时,y等于负1;当x等于1时,y等于0;当x等于2时,y等于1;当x等于4时,y等于2。将这些点在坐标系中标出,然后用光滑的曲线连接,就得到了对数函数的图象。
底数a的不同取值对对数函数图象有重要影响。当底数a大于1时,如y等于log底数2的x,函数图象单调递增,从左下方向右上方延伸。当底数a在0到1之间时,如y等于log底数二分之一的x,函数图象单调递减,从左上方向右下方延伸。但无论底数如何变化,所有对数函数都有一个共同特点:它们都经过点(1,0)。
现在我们系统总结对数函数的基本性质。首先,对数函数的定义域是零到正无穷,因为对数的真数必须大于零。值域是负无穷到正无穷。所有对数函数都经过定点(1,0)。当底数a大于1时,函数单调递增;当底数a在0到1之间时,函数单调递减。在区间(0,1)上,对数函数值小于零;在区间(1,正无穷)上,对数函数值大于零。