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双曲函数是数学中一类重要的函数，它们基于指数函数定义。双曲正弦函数sinh(x)定义为e的x次方减去e的负x次方，再除以2。双曲余弦函数cosh(x)定义为e的x次方加上e的负x次方，再除以2。这些函数之所以称为双曲函数，是因为它们与单位双曲线x平方减y平方等于1有密切关系。从图像可以看出，sinh(x)是奇函数，通过原点，而cosh(x)是偶函数，在原点处取得最小值1。
现在我们来详细分析双曲函数的图像性质。双曲正弦函数sinh(x)是奇函数，满足sinh负x等于负sinh(x)，它单调递增，通过原点，值域是整个实数轴。双曲余弦函数cosh(x)是偶函数，满足cosh负x等于cosh(x)，它在x等于0处取得最小值1，呈现U型曲线，值域是从1到正无穷。通过动态绘制过程，我们可以清楚地看到这两个函数的对称性和增长特征。
除了基本的双曲正弦和双曲余弦函数，我们还有其他重要的双曲函数。双曲正切函数tanh(x)定义为sinh(x)除以cosh(x)，也可以写成e的x次方减去e的负x次方，除以e的x次方加上e的负x次方。此外还有双曲余割函数csch(x)、双曲正割函数sech(x)和双曲余切函数coth(x)，它们分别是对应函数的倒数。双曲正切函数具有特殊的性质：它是有界函数，值域在负1到正1之间，呈现S型曲线，具有水平渐近线y等于正负1。
双曲函数有许多重要的恒等式，类似于三角恒等式。最基本的是双曲恒等式：cosh平方x减去sinh平方x等于1。我们可以通过定义来推导这个恒等式。将cosh和sinh的定义代入，经过计算可以验证这个等式成立。这个恒等式与单位双曲线x平方减y平方等于1密切相关。在双曲线上，任意一点的坐标都可以表示为cosh(t)和sinh(t)的形式。此外还有加法公式等其他重要恒等式。
双曲函数的微积分性质非常优美。双曲正弦函数的导数是双曲余弦函数，双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数，这与三角函数的导数规律相似但更简洁。双曲正切函数的导数是双曲正割函数的平方。我们可以通过定义来推导这些公式，比如sinh(x)的导数等于e的x次方加上e的负x次方除以2，正好是cosh(x)。通过图像可以看到切线斜率的变化，验证了导数公式的正确性。相应的积分公式也很简单，sinh(x)的积分是cosh(x)加常数，cosh(x)的积分是sinh(x)加常数。