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三角函数是数学中描述直角三角形角度与边长关系的重要工具。在直角三角形中，我们定义正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。以30度角为例，其正弦值为二分之一，余弦值为二分之根号三，正切值为三分之根号三。这些基本定义是理解三角函数的关键基础。
单位圆是半径为1，圆心在原点的圆，其方程为x平方加y平方等于1。在单位圆中，任意角度θ对应圆上一点，该点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当角度从0度变化到360度时，点在圆上运动一周。特殊角度包括0度对应坐标(1,0)，90度对应(0,1)，180度对应(-1,0)，270度对应(0,-1)。这种表示方法将三角函数从直角三角形扩展到了整个坐标平面。
三角函数图像具有鲜明的特征。正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π，振幅在负1到正1之间变化。正弦函数从原点开始，先上升到π/2处的最大值1，然后下降到π处回到0，继续下降到3π/2处的最小值负1，最后在2π处回到0，完成一个周期。余弦函数则从最大值1开始。两个函数都具有对称性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。这些周期性和对称性使得三角函数在描述波动现象时非常有用。
三角恒等式是三角函数之间的重要关系式。最基本的是平方和恒等式：正弦平方θ加余弦平方θ等于1。这个恒等式可以通过勾股定理直观证明：在单位圆的直角三角形中，斜边长度为1，两直角边分别为cosθ和sinθ，根据勾股定理得到此恒等式。和角公式描述了两角和的正弦余弦值，可通过几何方法推导。二倍角公式是和角公式的特殊情况。这些恒等式不仅在理论上重要，在实际计算中也有广泛应用。
三角函数在实际生活中有广泛应用。第一个例子是测量建筑物高度：当我们知道观测点到建筑物的水平距离d和仰角α时，可以利用正切函数计算建筑物高度h等于d乘以tanα。第二个例子是简谐运动建模：钟摆的运动可以用余弦函数描述，位移x等于振幅A乘以cos(ωt+φ)，其中ω是角频率，φ是初相位。解决这类实际问题的一般步骤是：首先建立合适的坐标系，然后确定已知量和未知量，选择合适的三角函数关系，最后列出方程求解。这展示了三角函数从抽象数学概念到实际应用的重要价值。