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在解决圆上动点问题之前，我们先回顾两个重要的基础定理。勾股定理告诉我们，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。垂径定理则说明，垂直于弦的直径平分该弦和弦所对的弧。这两个定理将是我们解决圆上动点问题的重要工具。
现在我们建立一个具体的圆上动点问题。在半径为5的圆上有一个动点P，圆心为O，弦AB的长度为6。我们的目标是求点P到弦AB距离的最大值和最小值。首先建立坐标系统，将圆心O放在原点，这样便于我们进行几何分析和计算。
现在我们应用垂径定理来分析这个问题。从圆心O向弦AB作垂线，垂足为M。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分该弦，因此AM等于MB，都等于AB的一半，即3。这个垂径定理的应用为我们后续使用勾股定理计算圆心到弦的距离奠定了基础。
现在我们利用勾股定理来计算圆心到弦的距离。在直角三角形OAM中，我们知道OA等于5，这是圆的半径；AM等于3，这是弦长的一半；角OMA是直角。根据勾股定理，OM的平方加上AM的平方等于OA的平方，即OM的平方加9等于25，所以OM等于4。这就是圆心到弦AB的距离。
现在我们分析动点P在圆上运动时，到弦AB距离的变化规律。当点P在圆上运动时，它到弦AB的距离会发生变化。当P在弦AB的同侧时，距离较小；当P在弦AB的异侧时，距离较大。最小距离出现在P1位置，即弦AB上方与圆的交点；最大距离出现在P2位置，即弦AB下方与圆的交点。