视频字幕
我们来分析这个几何最值问题。已知等腰三角形ABC，底边BC等于4，M是AB上的动点，N是AC上的动点，且BM等于AN。我们需要求MN的最小值。为了便于分析，建立坐标系，以BC的中点为原点，设A点坐标为(0,h)，B点为(-2,0)，C点为(2,0)。
现在我们构造关键的全等三角形。作三角形ACD全等于三角形ABC。构造方法是：AC为公共边，角CAD等于角CAB，AD等于AB。由于原三角形ABC是等腰三角形，AB等于AC，所以AD也等于AC。根据边角边定理，三角形ACD全等于三角形ABC。这个构造为后续的问题转化奠定了基础。
现在我们引入关键的辅助点P。在线段CD上取点P，使得CP等于BM，也等于AN。这样我们就建立了三个线段长度相等的关系：BM等于AN等于CP。当M和N在各自的边上移动时，P点也会在CD上相应移动，始终保持这个等量关系。这个构造是解决最值问题的关键步骤。
现在我们进行关键的几何变换分析。我们要证明三角形ABN全等于三角形ACP。首先，AB等于AC，这是等腰三角形的性质。其次，AN等于CP，这是我们的构造条件。第三，角BAN等于角CAP，这可以通过角度关系得出。根据边角边定理，三角形ABN全等于三角形ACP。由此可得BN等于AP，且对应角相等。这个全等关系为后续的最值分析提供了理论基础。
现在我们完成最值问题的转化和计算。利用前面建立的全等关系，当M、N、P三点共线时，MN加NP等于MP，此时达到最小值。MP的最小值等于点M到直线CD的最短距离的两倍。由于等腰三角形ABC的底边BC等于4，高为3，通过几何计算可得MP的最小值为4。因此MN的最小值等于MP最小值的一半，即2。这就是我们要求的答案。