你是一个经验丰富的数学老师，用通俗易懂的话，一步步给出正确答案，使用中文---Here is the extracted content from the image: **Question 6** **Question Stem:** 设函数 f(x) = cos(x + φ), |φ| < π/2, 对 ∀x ∈ R 都有 f(π/3 + x) + f(π/6 - x) = 0, 则 f(x) = ( ). **Options:** A. cos(x + π/4) B. sin(x + π/4) C. cos(x - π/4) D. sin(x - π/4)

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这是一道关于三角函数的题目。我们需要根据给定的条件来确定参数φ的值。题目告诉我们函数f(x)等于cos(x+φ)，其中φ的绝对值小于π/2。关键条件是对于所有实数x，都有f(π/3+x)加上f(π/6-x)等于0。这个等式给了我们求解φ的重要信息。 现在我们开始代入函数表达式。由于f(x)等于cos(x+φ)，我们可以将这个表达式代入条件等式中。f(π/3+x)等于cos(π/3+x+φ)，f(π/6-x)等于cos(π/6-x+φ)。因此，原条件等式变为：cos(π/3+x+φ)加上cos(π/6-x+φ)等于0。这样我们就得到了一个关于φ的三角函数等式。 现在我们使用和差化积公式来变换这个等式。和差化积公式告诉我们：cosA加cosB等于2cos((A+B)/2)乘以cos((A-B)/2)。设A等于π/3+x+φ，B等于π/6-x+φ。计算(A+B)/2，我们得到π/4+φ。计算(A-B)/2，我们得到π/12+x。因此原等式变为：2cos(π/4+φ)cos(π/12+x)等于0。 现在我们来求解参数φ。从等式2cos(π/4+φ)cos(π/12+x)等于0可以看出，由于这个等式对所有x都成立，而cos(π/12+x)不恒为0，因此必须有cos(π/4+φ)等于0。这意味着π/4+φ等于π/2加kπ，其中k是整数。解得φ等于π/4加kπ。结合约束条件φ的绝对值小于π/2，我们得到φ等于π/4。 最后我们来验证答案。将φ等于π/4代入原函数，得到f(x)等于cos(x+π/4)。我们需要验证这个函数是否满足原始条件。计算f(π/3+x)等于cos(7π/12+x)，f(π/6-x)等于cos(5π/12-x)。使用和差化积公式，它们的和等于2cos(π/2)cos(π/12+x)，由于cos(π/2)等于0，所以和确实等于0。因此答案是A：cos(x+π/4)。