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连续小波变换是信号处理中的重要工具，它通过将信号与不同尺度和位置的小波函数进行卷积，来获得信号的时频信息。CWT的数学定义如公式所示，其中尺度参数a控制小波的频率特性，平移参数b控制时间位置。右侧展示的是常用的Morlet小波函数，它具有良好的时频局部化特性。
CWT的输出是一个二维复数矩阵，其结构包含了信号的完整时频信息。矩阵的横轴对应时间参数b，纵轴对应尺度参数a。每个矩阵元素都是一个复数小波系数，其幅值大小反映了信号在对应时间和尺度处的能量强度。右侧的热力图展示了典型的CWT输出，颜色越深表示系数幅值越大，对应该时频点的能量越强。
尺度参数a与频率之间存在反比关系，转换公式为f等于小波中心频率除以尺度参数与采样间隔的乘积。这意味着小尺度对应高频成分，大尺度对应低频成分。右侧动画演示了不同尺度下小波函数的变化：当尺度较小时，小波函数振荡频率高且持续时间短，对应高频分析；当尺度较大时，小波函数振荡频率低且持续时间长，对应低频分析。这种尺度-频率对应关系是CWT进行多分辨率分析的基础。
CWT的输出系数是复数，包含实部和虚部两个分量。系数的幅值通过实部和虚部的平方和开方计算得到，它表示信号在特定时间和频率处的能量强度。幅值越大，说明信号在该时频点的能量越强；幅值越小，说明能量越弱；幅值为零则表示信号中不包含对应的频率成分。右侧的颜色条展示了幅值与颜色的对应关系，通常用红色表示高幅值，白色表示低幅值。下方的示例热力图显示了典型的CWT幅值分布模式。
让我们通过一个具体例子来演示如何解读CWT输出。这个合成信号包含三个时间段的不同频率成分：0到1秒是10赫兹正弦波，1到2秒是20赫兹正弦波，2到3秒是5赫兹正弦波，全程还叠加了白噪声。上方显示原始时域信号，下方是对应的CWT时频图。从CWT图中可以清楚地看到：在0到1秒时间段，10赫兹附近有强烈的红色区域；在1到2秒，20赫兹附近出现高能量；在2到3秒，5赫兹附近显示主要成分。这样我们就成功从CWT输出中提取了信号的时频演化特征。