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椭圆是平面几何中的重要图形。它的定义是：平面上到两个定点距离之和为常数的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，通常记为F1和F2。椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。当点P沿着椭圆移动时，这个距离之和始终保持不变，这就是椭圆的本质特征。
在椭圆的基本要素中，焦点F1和F2是两个最重要的定点。椭圆的中心O是两个焦点的中点。长轴是通过两个焦点的最长弦，短轴是垂直于长轴并通过中心的最短弦。长半轴a是长轴的一半，短半轴b是短轴的一半。这些要素之间有着密切的几何关系，构成了椭圆的基本框架。
现在我们从几何定义推导椭圆的标准方程。建立坐标系，以椭圆中心为原点，焦点在x轴上。设椭圆上任意一点P的坐标为(x,y)，两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)。根据椭圆定义，点P到两焦点距离之和等于2a。经过复杂的代数运算和化简，最终得到椭圆的标准方程：x²/a² + y²/b² = 1，其中a是长半轴，b是短半轴，且c² = a² - b²。
椭圆的三个重要参数a、b、c之间存在基本关系：c² = a² - b²。其中a是长半轴，b是短半轴，c是焦距的一半，且a大于b大于0。离心率e定义为c与a的比值，即e = c/a，其取值范围是0到1之间。当离心率接近0时，椭圆接近圆形；当离心率接近1时，椭圆变得很扁。通过调整这些参数，我们可以看到椭圆形状的变化。
现在我们通过具体例题来巩固椭圆的概念。例题1：已知椭圆方程x²/25 + y²/9 = 1，求焦点坐标和离心率。首先识别参数：a² = 25，所以a = 5；b² = 9，所以b = 3。利用关系式c² = a² - b²，得到c² = 25 - 9 = 16，所以c = 4。因此焦点坐标为F₁(-4,0)和F₂(4,0)。离心率e = c/a = 4/5 = 0.8。通过图形可以验证我们的计算结果是正确的。