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五次方程求根问题是数学史上的一个重要里程碑。从古代开始，数学家们就知道一次方程和二次方程的求根公式。十六世纪时，意大利数学家卡尔达诺和费拉里分别找到了三次和四次方程的求根公式。然而，五次方程却截然不同。直到十九世纪，挪威数学家阿贝尔才证明了一般五次方程没有用根式表示的求根公式，这一发现震惊了整个数学界。
要理解五次方程为什么没有求根公式，我们需要先了解群论的基础概念。群是满足四个基本性质的代数结构：封闭性、结合律、存在单位元和逆元。置换群是群论中的重要例子，比如三次对称群S3包含三角形的所有对称变换。可解群是一类特殊的群，它们可以通过一系列正规子群分解为更简单的阿贝尔群。这些概念将帮助我们理解方程求解的本质。
伽罗瓦理论是连接方程求解与群论的桥梁。伽罗瓦群是保持方程系数不变的所有自同构组成的群。伽罗瓦基本定理告诉我们，一个方程可以用根式求解，当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。对于不同次数的方程，我们有不同的对应关系：二次方程对应循环群，三次和四次方程对应可解的对称群，而五次方程对应不可解的五次对称群。这个深刻的对应关系揭示了方程求解问题的本质。
现在我们来具体分析不同对称群的结构。三次对称群S3有6个元素，可以通过正规子群序列分解：S3包含A3，A3包含单位元。每一步的商群都是阿贝尔群，所以S3是可解的。四次对称群S4有24个元素，也存在可解序列：通过交错群A4和Klein四群V4可以逐步分解为阿贝尔群。但是五次对称群S5的情况完全不同。S5有120个元素，虽然包含交错群A5，但A5是一个单群，没有非平凡的正规子群，无法进一步分解。这就是S5不可解的根本原因。
现在我们可以完整地陈述阿贝尔-鲁菲尼定理：一般的五次及以上次数的多项式方程不能用根式求解。证明的关键在于三个步骤：首先，一般五次方程的伽罗瓦群是五次对称群S5；其次，我们已经证明了S5不是可解群，因为它包含的交错群A5是单群；最后，根据伽罗瓦理论的基本定理，不可解的伽罗瓦群意味着方程无法用根式求解。这一结果具有深远的历史意义，它不仅结束了数学家们寻找通用求根公式的漫长努力，更开创了抽象代数的新时代，展示了群论这一抽象数学工具的强大威力。