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角平分线是几何学中的一个重要概念。从角的基本概念开始，角是由两条射线组成的图形。角平分线的定义是：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线。如图所示，射线OC是角AOB的角平分线，它将角AOB分成了两个相等的角AOC和角COB。
角平分线有一个重要的性质：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。这是角平分线的核心性质定理。如图所示，点P在角平分线OC上，我们从点P分别向角的两边OA和OB作垂线，垂足分别为D和E。根据角平分线的性质，我们可以得出PD等于PE，即点P到角的两边的距离相等。这个性质在几何证明和实际应用中都非常重要。
现在我们学习如何使用圆规和直尺作角平分线的标准几何作图方法。这个方法分为三个步骤：第一步，以角的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点。第二步，分别以M、N为圆心，大于二分之一MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P。第三步，连接OP，射线OP就是角AOB的角平分线。这种作图方法基于等腰三角形的性质，确保了作图的准确性。
现在我们学习三角形的角平分线定理。这是一个非常重要的几何定理：在三角形中，一边的角平分线将对边分成与相邻两边成比例的线段。具体来说，在三角形ABC中，如果AD是角BAC的角平分线，那么BD与DC的比等于AB与AC的比。例如，如果AB等于6，AC等于4，那么BD与DC的比就等于6比4，也就是3比2。这个定理在解决三角形的比例问题时非常有用。
现在我们通过具体的例题来展示角平分线在几何问题中的实际应用。第一个例题：在三角形ABC中，已知AB等于8，AC等于6，AD平分角BAC，求BD与DC的比值。根据角平分线定理，BD与DC的比等于AB与AC的比，即8比6，化简后得到4比3。第二个例题是利用角平分线的性质来证明：角平分线上的点到角的两边距离相等。如图所示，点P在角平分线上，PE和PF分别是点P到角的两边的距离，根据角平分线的性质，PE等于PF。这些应用充分体现了角平分线理论在解决实际几何问题中的重要作用。