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在我们的日常生活中，经常可以观察到一个量随着另一个量的变化而变化的现象。比如一天中温度随时间的变化，商品的价格与销售数量之间的关系等。这种变量之间存在确定对应关系的现象，就是我们今天要学习的函数概念的基础。让我们通过温度随时间变化的例子来理解这种对应关系。
现在我们给出函数的严格数学定义。设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f从A到B为一个函数。其中集合A叫做函数的定义域，集合B中所有函数值组成的集合叫做值域。这个定义强调了函数的三个关键要素：任意性、唯一性和存在性。
函数由三个基本要素组成，它们共同确定一个完整的函数。第一个要素是定义域，即自变量x的取值范围。第二个要素是对应关系，描述了自变量与因变量之间的对应法则。第三个要素是值域，即函数值的取值范围。以函数f(x)等于x的平方为例，当定义域为0到4时，对应关系是平方运算，值域就是0到16。这三个要素缺一不可，只有同时具备才能完整地描述一个函数。
函数有三种主要的表示方法，每种都有其独特的优势。第一种是解析法，用数学表达式来表示函数，如f(x)等于2x加1，这种方法简洁明了，便于计算。第二种是列表法，用表格的形式列出自变量与函数值的对应关系，这种方法直观具体，适合有限个数据点的情况。第三种是图像法，在坐标系中用图形来表示函数，能够直观地显示函数的变化趋势和性质。在实际应用中，我们会根据具体需要选择最合适的表示方法。
函数定义中有三个关键要点需要特别注意。第一是任意性，即定义域中的任意一个x都必须有对应的函数值。第二是唯一性，每个x都有唯一确定的函数值f(x)，不能一对多。第三是存在性，必须存在对应的函数值。通过正反例对比可以更好地理解：上面的例子中每个元素都有唯一对应，这是函数；而下面的例子中元素1对应了两个值，违反了唯一性原则，所以不是函数。准确理解这些要点对掌握函数概念至关重要。