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圆锥曲线是解析几何中的重要概念。当一个平面与圆锥面相交时，根据平面与圆锥轴的角度不同，会产生四种不同的曲线。当平面垂直于圆锥轴时得到圆；当平面倾斜但不平行于母线时得到椭圆；当平面平行于一条母线时得到抛物线；当平面与圆锥的两个锥面都相交时得到双曲线。
椭圆是圆锥曲线中最重要的一种。椭圆的定义是：平面上到两个定点F1和F2距离之和等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点。椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a是长半轴，b是短半轴。椭圆有许多重要性质：长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦距为2c，离心率e等于c除以a。当点P在椭圆上运动时，PF1加PF2的距离始终保持不变。
双曲线是另一种重要的圆锥曲线。双曲线的定义是：平面上到两个定点F1和F2距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。双曲线的标准方程是x²/a² - y²/b² = 1。双曲线由两个分支组成，有两条渐近线y等于正负b/a乘以x。双曲线的重要性质包括：实轴长度为2a，虚轴长度为2b，焦距为2c，其中c²等于a²加b²，离心率e等于c除以a且大于1。当点P在双曲线上运动时，PF1与PF2距离之差的绝对值保持常数2a。
现在我们来对比椭圆和双曲线的异同。最本质的区别在于定义：椭圆是到两焦点距离之和为常数的点的轨迹，而双曲线是到两焦点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹。从方程形式看，椭圆是x²/a² + y²/b² = 1，双曲线是x²/a² - y²/b² = 1，一个是加号一个是减号。椭圆的离心率0小于e小于1，是封闭曲线；双曲线的离心率e大于1，是开放曲线。椭圆中c²等于a²减b²，双曲线中c²等于a²加b²。当离心率从0变化到1时，椭圆从圆形逐渐变扁。
椭圆和双曲线在实际生活中有广泛应用。椭圆最著名的应用是行星轨道，地球和其他行星都沿椭圆轨道绕太阳运行。椭圆还用于卫星轨道设计和椭圆形建筑结构。双曲线则应用于双曲线导航系统、射电望远镜反射面和冷却塔设计。现在我们来看一个综合例题：已知椭圆的焦点为F1负3逗号0和F2括号3逗号0，椭圆上一点P到两焦点距离之和为10，求椭圆的标准方程。解题步骤：首先由焦点坐标得到2c等于6，所以c等于3。由距离之和得到2a等于10，所以a等于5。然后b²等于a²减c²等于25减9等于16。因此椭圆的标准方程为x²/25加y²/16等于1。