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三角恒等式是数学中非常重要的概念。它们是涉及三角函数的等式，对于所有使等式有意义的角度值都成立。这些恒等式在解决三角问题、简化复杂表达式以及证明数学定理中都发挥着关键作用。通过观察正弦和余弦函数的图像，我们可以发现它们之间存在着深刻的数学关系，这正是三角恒等式的基础。
基本三角恒等式是三角函数理论的核心。最重要的是平方关系：正弦平方加余弦平方等于一，这可以通过单位圆上任意一点到原点的距离恒为一来理解。商数关系告诉我们正切等于正弦除以余弦，余切等于余弦除以正弦。倒数关系则定义了正割和余割函数。通过观察单位圆上动点的运动，我们可以直观地验证这些恒等式的正确性。
和差角公式是三角恒等式中最重要的一类，它们建立了两个角的和或差的三角函数值与原角三角函数值之间的关系。正弦的和角公式表明，两角和的正弦等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。余弦的和角公式则有所不同，两角和的余弦等于两角余弦的乘积减去两角正弦的乘积。通过单位圆上的向量表示，我们可以直观地理解这些公式的几何意义。
二倍角公式是和差角公式的特殊情况，当两个角相等时得到。正弦的二倍角公式表明，二倍角的正弦等于该角正弦与余弦乘积的两倍。余弦的二倍角公式有三种等价形式：余弦平方减正弦平方，二倍余弦平方减一，以及一减二倍正弦平方。通过观察正弦函数和其二倍角函数的图像，我们可以看到二倍角函数的周期是原函数的一半，频率加倍。这些公式在三角函数化简和积分计算中有重要应用。
半角公式是从二倍角公式反向推导得出的重要恒等式。通过二倍角公式，我们可以推导出半角的正弦、余弦和正切公式。需要特别注意的是，半角公式中的正负号选择取决于半角所在的象限。例如，如果半角在第一象限，则正弦和余弦都取正号；如果在第二象限，则正弦取正号，余弦取负号。正切的半角公式有多种等价形式，可以根据具体情况选择使用。这些公式在积分计算和三角方程求解中非常有用。