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解析几何是数学中的重要分支，它用代数方法研究几何问题。通过建立直角坐标系，我们可以用数字坐标表示点的位置，用方程表示直线和曲线。例如，点A的坐标是(2,1)，点B的坐标是(-1,2)，连接两点的直线有特定的方程。圆的方程是x²+y²=r²。这种方法将几何问题转化为代数计算，为解决复杂几何问题提供了强有力的工具。
圆锥曲线是解析几何的核心内容，包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本类型。椭圆的标准方程是x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别是长半轴和短半轴的长度。双曲线的标准方程是x²/a²-y²/b²=1，注意这里是减号。抛物线的标准方程是y²=2px，其中p是焦点到准线的距离。通过改变参数值，我们可以看到曲线形状的变化，这些参数直接影响曲线的几何性质。
直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重要内容。我们通过联立直线方程和曲线方程，消元后得到一元二次方程。利用判别式可以判断位置关系：当判别式大于零时，直线与曲线相交于两点；等于零时相切于一点；小于零时相离。韦达定理帮助我们在不直接求解的情况下，利用两根之和与两根之积来计算弦长、面积等几何量。现在我们来观察直线与椭圆的不同位置关系。
弦长和面积计算是解析几何中的重要应用。当直线与圆锥曲线相交时，我们可以利用韦达定理来计算弦长。弦长公式是根号下1加k平方乘以x1减x2的绝对值，其中x1减x2可以用韦达定理表示为根号下x1加x2的平方减去4倍x1乘x2。韦达定理告诉我们，两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。这种设而不求的技巧避免了复杂的求根运算，大大简化了计算过程。面积计算则利用二分之一底乘高的公式。
参数方程是解析几何中的重要工具，它用参数来表示点的坐标。直线的参数方程包含位置参数和方向参数，圆的参数方程用角度参数表示，椭圆的参数方程类似于圆但有不同的长短轴系数。参数方程的优势在于便于描述运动轨迹，简化最值问题的计算，以及易于处理图形的对称性。现在我们来观察椭圆上一点的参数运动，可以看到参数θ的变化如何对应点在椭圆上的位置变化。