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立体几何是研究空间中点、线、面位置关系和度量关系的数学分支。在空间中，点是最基本的元素，表示位置；线是点的轨迹；面是线的轨迹。基本的位置关系包括点在线上、线在面上、面与面相交成线等。立体几何需要较强的空间想象能力，通过三视图可以帮助我们理解立体图形的结构。
空间中的平行关系分为三个层次。首先是线线平行，指同一平面内不相交的两条直线，满足平行于同一直线的两直线平行的性质。其次是线面平行，指直线与平面没有交点，判定方法是证明直线平行于平面内的一条直线。最后是面面平行，指两个平面没有交点，判定方法是证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。这三种平行关系相互关联，构成了完整的空间平行理论体系。
立体几何是高考数学的重要专题，主要研究三维空间中点、直线、平面之间的位置关系。这个专题综合考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力。主要内容包括空间位置关系的证明、空间角和距离的计算，以及几何体体积的计算。在高考中，立体几何题通常分为两种类型：传统的几何证明和基于空间向量的计算。
空间中的平行关系同样分为三个层次。线线平行是最基本的，可以通过方向向量成比例来判定，也可以利用平行公理和传递性。线面平行是指直线与平面无交点，其判定定理是：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与平面平行。面面平行是指两个平面无交线，判定方法是证明一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行。在实际证明中，我们常常从线线平行出发，逐步推导出线面平行和面面平行。
空间中的垂直关系同样分为三个层次。线线垂直是指两条直线所成的角为九十度，包括相交垂直和异面直线垂直。线面垂直是指直线与平面内的任意直线都垂直，其判定定理是：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直。面面垂直是指两个平面所成的二面角为九十度，判定方法是证明一个平面经过另一个平面的垂线。垂直关系的证明往往需要利用这些判定定理，将复杂的空间关系转化为平面内的垂直关系。
空间向量方法是解决立体几何问题的现代化工具。首先要建立合适的坐标系，选择合适的原点和坐标轴方向，然后写出相关点的坐标。利用向量可以方便地处理各种空间关系：两向量平行当且仅当它们共线，两向量垂直当且仅当它们的数量积为零。对于角度计算，可以使用向量夹角的余弦公式；对于距离计算，可以使用向量的模长公式。这种方法将几何问题转化为代数计算，使复杂的空间关系变得清晰可计算。
体积计算是立体几何的重要应用。常见几何体的体积公式需要熟练掌握：柱体体积等于底面积乘以高，锥体体积等于底面积乘以高的三分之一，球体体积等于三分之四π乘以半径的三次方。对于复杂的组合体，通常采用分割法将其分解为若干个基本几何体，或者用补形法补成规则的几何体。在实际计算中，关键是正确识别几何体的类型，准确测量或计算底面积和高，然后套用相应的体积公式。
建立空间直角坐标系是用向量方法解决立体几何问题的第一步。选择原点时，通常选择几何体的顶点或对称中心，这样可以使坐标计算更加简便。确定坐标轴方向时，要充分利用几何体的棱或对称轴，确保三个坐标轴两两垂直。以长方体为例，我们可以选择一个顶点作为原点，沿着三条棱的方向建立坐标轴，这样各个顶点的坐标就很容易确定。正确建立坐标系后，空间中的点、直线、平面都可以用坐标和向量来表示，从而将几何问题转化为代数计算。
用向量方法证明位置关系是立体几何的现代化解法。对于平行关系，线线平行要证明两直线的方向向量共线，即一个是另一个的数倍；线面平行要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为零；面面平行要证明两平面的法向量共线。对于垂直关系，线线垂直要证明两直线方向向量的数量积为零；线面垂直要证明直线方向向量与平面法向量共线；面面垂直要证明两平面法向量的数量积为零。关键在于正确求出相关的方向向量和法向量，然后通过向量运算来证明所需的位置关系。