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数列是数学中的重要概念，它是按照一定顺序排列的数的序列。每个数称为数列的项，用a₁、a₂、a₃等表示。数列可以是有限的，也可以是无限的。比如这个例子中的1、3、5、7、9，它们按照奇数的规律排列，通项公式是aₙ等于2n减1。
等差数列是相邻两项的差为常数的数列，这个常数叫做公差，用d表示。等差数列的通项公式是aₙ等于a₁加上n减1乘以d。从图像上看，等差数列的各项在坐标系中呈现直线分布，体现了线性增长的特点。比如这个例子中，首项a₁等于2，公差d等于3，所以通项公式是aₙ等于2加上n减1乘以3。
等比数列是相邻两项的比为常数的数列，这个常数叫做公比，用q表示。等比数列的通项公式是aₙ等于a₁乘以q的n减1次方。从图像上看，等比数列呈现指数增长的特点，与等差数列的线性增长形成鲜明对比。当公比q大于1时，数列递增且增长速度越来越快；当0小于q小于1时，数列递减；当q小于0时，数列的符号会交替变化。
递推关系是通过前面的项来定义后面项的关系式。主要有三种类型：第一种是aₙ₊₁等于aₙ加上f(n)的形式，用累加法求解，通过逐项相加得到通项公式；第二种是aₙ₊₁等于aₙ乘以f(n)的形式，用累乘法求解，通过逐项相乘得到通项公式；第三种是分式递推关系，通常用特征根法或换元法求解。掌握这些方法可以有效解决各种递推数列问题。
数列求和有四种基本方法。第一种是公式法，直接使用等差数列和等比数列的求和公式。第二种是裂项相消法，将通项公式拆分成两项的差，求和时中间项相消，只剩首尾项。第三种是错位相减法，适用于等差数列与等比数列乘积的求和，通过构造两个错位的和式相减得到结果。第四种是分组求和法，将数列分成几个部分分别求和再相加。掌握这些方法是解决数列求和问题的关键。