三角函数与解三角形专题 **🔍 重要性：** 高考必考内容，应用广泛 **核心要点：** - 三角恒等变换 - 解三角形 - 实际应用 **重点知识梳理：** 1. **三角恒等变换：** ``` 基本公式： - 同角三角函数关系 - 诱导公式 - 和差公式 - 二倍角公式 化简技巧： - 统一函数名 - 统一角度 - 辅助角公式 ``` 2. **解三角形：** ``` 正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R 余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cos C 面积公式：S = (1/2)ab sin C ```

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三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与边长的关系。在单位圆中，任意角θ对应圆上一点，该点的x坐标就是cosθ，y坐标就是sinθ。同角三角函数的基本关系包括平方和等于1，以及正切等于正弦除以余弦。 三角恒等变换是解决三角函数问题的核心技能。主要包括诱导公式、和差公式、二倍角公式和辅助角公式。解题时要掌握统一函数名和统一角度两大策略。诱导公式帮助我们化简不同象限的角，和差公式处理角度的加减，二倍角公式简化倍角关系，辅助角公式则将和式转化为单一三角函数。 正弦定理是解三角形的基本定理，它表明在任意三角形中，各边与其对角正弦值的比值相等，且等于外接圆直径。这个定理特别适用于已知两角一边或已知两边及其中一边对角的情况。通过正弦定理，我们可以建立方程求解未知的边长或角度，是三角形计算中不可缺少的工具。 余弦定理是勾股定理在任意三角形中的推广形式。它表明三角形任意一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角余弦值乘积的两倍。余弦定理特别适用于已知三边求角或已知两边及夹角求第三边的情况。通过变形，我们还可以用余弦定理求角度，这与正弦定理形成了完整的解三角形工具体系。 三角形面积的计算有多种方法。最常用的是正弦面积公式，当已知两边及其夹角时，面积等于两边乘积与夹角正弦值的一半。当已知三边时，可以使用海伦公式，先计算半周长，再用海伦公式求面积。选择合适的面积公式是解题的关键，要根据已知条件灵活运用这些公式。