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函数的性质是数学分析的基础。定义域是函数有意义的自变量取值范围，常见限制包括分母不为零、根式被开方数非负、对数真数大于零。值域是函数值的取值范围。单调性描述函数的增减性，可用定义法或导数法判断。奇偶性反映函数图像的对称性，偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称。周期性表示函数值按一定周期重复。以二次函数为例，它的定义域是全体实数，值域是零到正无穷，在负半轴递减，正半轴递增，关于y轴对称，是偶函数。
导数是微积分的核心概念，表示函数在某点的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是曲线在该点的切线斜率。我们可以通过割线斜率的极限来理解导数概念。当两点无限接近时，割线就变成了切线。基本函数都有对应的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。导数运算遵循和差法则、乘积法则和商法则。掌握这些公式和法则是进行导数计算的基础。
利用导数判断函数单调性是导数的重要应用。基本原理是：当导数大于零时函数递增，当导数小于零时函数递减，导数等于零的点可能是极值点。解题步骤包括：首先求出函数的导数，然后令导数等于零求出驻点，接着判断导数在各区间的符号，最后确定函数的单调区间。以三次函数为例，通过求导得到二次函数，找到驻点后分析各区间的单调性。这种方法比定义法更加简便有效，是分析函数性质的重要工具。
极值与最值是导数应用的重要内容。极值是函数在某点附近的最大值或最小值，是局部概念；最值是函数在给定区间上的最大值或最小值，是整体概念。求极值的步骤是：先求导数，再令导数等于零求驻点，然后用二阶导数判断驻点性质。求最值需要在极值和端点值中比较得出。以三次函数在闭区间上为例，通过计算端点和极值点的函数值，比较后确定最大值和最小值。这类问题在实际应用中非常重要，如优化问题、物理中的最值问题等。
切线方程问题是导数几何应用的经典题型。分为两类：过曲线上一点的切线和过曲线外一点的切线。第一类比较简单，直接用点斜式写出切线方程。第二类需要设切点坐标，利用切线过已知点的条件建立方程求解。以抛物线为例，过曲线外一点可能有两条切线。解题关键是正确设置切点参数，建立切线方程，然后利用切线过定点的条件求出切点坐标。这类问题考查学生对导数几何意义的理解和方程思想的运用。