视频字幕
函数的性质是高考数学的核心内容。函数有四大基本性质：定义域与值域、单调性、奇偶性、周期性。定义域求解要注意分母不为零、根式被开方数非负、对数真数大于零等条件。以二次函数y等于x平方为例，它的定义域是全体实数，值域是零到正无穷，在负无穷到零上递减，在零到正无穷上递增，关于y轴对称是偶函数。这些性质为后续导数应用奠定了理论基础。
导数是函数变化率的度量，具有重要的几何意义和物理意义。几何上，导数表示函数图像在某点处切线的斜率；物理上，导数表示瞬时变化率。基本导数公式包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数。导数运算法则有和差法则、乘积法则、商法则等。以二次函数为例，当点在曲线上移动时，切线斜率随之变化，这就是导数的几何意义。掌握这些公式和法则是应用导数解决问题的基础。
利用导数判断函数单调性是导数的重要应用。当导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，导数等于零时可能是极值点。解题步骤包括：求导数、令导数为零求驻点、判断导数符号、确定单调区间。以三次函数为例，f(x)等于x三次方减3x平方加2，求导得f'(x)等于3x(x减2)。驻点为x等于0和x等于2。在负无穷到0区间导数大于零函数递增，在0到2区间导数小于零函数递减，在2到正无穷区间导数大于零函数递增。这种方法可以准确确定函数的单调区间。
极值与最值是导数应用的重要内容。极值是函数在某点附近的最大值或最小值，是局部概念；最值是函数在给定区间上的最大值或最小值，是整体概念。求极值的步骤是：求导数、令导数为零求驻点、判断驻点性质。如果导数在驻点左正右负则为极大值，左负右正则为极小值。求最值需要求出所有极值，计算端点函数值，然后比较得出最值。以三次函数在区间0到3上为例，端点值为2和2，极小值为负2，所以最大值是2，最小值是负2。
切线方程问题是导数几何应用的重要体现，分为两类：过曲线上一点的切线和过曲线外一点的切线。过曲线上一点的切线求法是：求导数、计算该点处导数值得切线斜率、用点斜式写切线方程。过曲线外一点的切线更复杂：设切点坐标、利用切线斜率等于导数值、利用切线过外部点建立方程、解方程求切点。以抛物线为例，过外部点P(0,2)可以作两条切线，分别与曲线相切于不同点，体现了过曲线外一点可能存在多条切线的特点。