视频字幕
勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的神奇关系。定理表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。这个定理在多个古代文明中都有独立发现，包括古代中国的《周髀算经》、古巴比伦的泥板记录，以及古希腊毕达哥拉斯学派的研究。在中国古代，我们称直角三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦。
现在我们用几何方法来证明勾股定理。这个证明方法非常直观和优美。首先，我们构造一个边长为a加b的大正方形，在这个大正方形内部，我们可以放置四个完全相同的直角三角形，每个三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。剩余的中心部分形成一个边长为c的小正方形。现在我们用两种方法计算大正方形的面积：方法一是边长的平方，即括号a加b的平方；方法二是四个三角形面积加上中心小正方形面积，即4乘以二分之一ab加上c的平方。由于这两种方法计算的是同一个面积，所以它们相等。展开括号a加b的平方得到a平方加2ab加b平方，这等于2ab加c平方。消去两边的2ab，就得到了a平方加b平方等于c平方，这就是勾股定理。
现在我们用代数方法来证明勾股定理。这个证明基于面积计算，更加严谨。我们从大正方形的面积开始：大正方形的边长是a加b，所以面积是括号a加b的平方。将这个表达式展开，得到a平方加2ab加b平方。另一方面，我们也可以通过分解来计算这个面积：大正方形由四个直角三角形和一个中心小正方形组成。每个直角三角形的面积是二分之一ab，四个三角形的总面积就是2ab。中心小正方形的面积是c平方。因此，大正方形的总面积等于2ab加c平方。由于这两种计算方法得到的是同一个面积，我们有：a平方加2ab加b平方等于2ab加c平方。将等式两边同时减去2ab，就得到了a平方加b平方等于c平方。这就完成了勾股定理的代数证明。