生成该数学题目的讲解视频
---**Textual Information:**
**Question Stem:**
给出以下四个函数：
① f(x) = x² sin(1/x²)
② f(x) = sin(x²) + (ln²x) / √x
③ f(x) = x² arctan(1/x) + x²e⁻ˣ
④ f(x) = (1/x²) arctan(1/x)
其中在[1, +∞)上有界的函数个数是( )
**Options:**
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Here is the complete and accurate extraction of the content from the image:
**Analysis**
* This question examines the determination of function boundedness.
* **Function Boundedness:** If there exists a positive number M such that for any x within the domain, |f(x)| ≤ M holds, then the function f(x) is said to be bounded.
* **Key to Solving:** Analyze the range of values for each function on the interval [1, +∞) to determine if there exists a positive number M such that |f(x)| ≤ M.
**1. Analysis of Function ①**
* For f(x) = x² sin(1/x²), because |sin(1/x²)| ≤ 1, it follows that |f(x)| = |x² sin(1/x²)| ≤ x².
* When x ∈ [1, +∞), x² ≥ 1, and x² increases as x increases. There is no positive number M such that |f(x)| ≤ M holds for all x ∈ [1, +∞). Therefore, f(x) = x² sin(1/x²) is unbounded on [1, +∞).
**2. Analysis of Function ②**
* For f(x) = sin x² + ln²x / √x, |sin x²| ≤ 1.
* For ln²x / √x, let t = √x (t ≥ 1). Then ln²x / √x = (ln t²)²/t = 4ln²t / t.
* As t → +∞, lim_{t→+∞} (4ln²t / t). According to L'Hôpital's Rule, differentiating the numerator and denominator separately: lim_{t→+∞} (4ln²t / t) = lim_{t→+∞} (4 × 2 ln t × (1/t)) / 1 = lim_{t→+∞} (8ln t / t). Applying L'Hôpital's Rule again: lim_{t→+∞} (8ln t / t) = lim_{t→+∞} (8 × (1/t)) / 1 = 0.
* Therefore, when x ∈ [1, +∞), ln²x / √x is bounded, which means f(x) = sin x² + ln²x / √x is bounded on [1, +∞).
**3. Analysis of Function ③**
* For f(x) = x² arctan(1/x) + x²e⁻ˣ, |arctan(1/x)| ≤ π/2. So, |x² arctan(1/x)| ≤ (π/2)x².
* When x ∈ [1, +∞), (π/2)x² increases as x increases. There is no positive number M such that |x² arctan(1/x)| ≤ M holds for all x ∈ [1, +∞). Therefore, f(x) = x² arctan(1/x) + x²e⁻ˣ is unbounded on [1, +∞).
**4. Analysis of Function ④**
* For f(x) = (1/x²) arctan(1/x), |arctan(1/x)| ≤ π/2. So, |f(x)| = |(1/x²) arctan(1/x)| ≤ (π/2)/x².
* When x ∈ [1, +∞), (π/2)/x² ≤ π/2. Therefore, there exists a positive number M = π/2 such that |f(x)| ≤ M holds for all x ∈ [1, +∞). So, f(x) = (1/x²) arctan(1/x) is bounded on [1, +∞).
**Summary**
In summary, the bounded functions are ② and ④, for a total of 2 functions. The answer is option B.
视频信息
答案文本
视频字幕
函数有界性是数学分析中的重要概念。如果存在正数M，使得对于定义域内任意x，都有函数值的绝对值小于等于M，则称函数在该区间上有界。图中蓝色曲线表示有界函数，其函数值始终被绿色虚线界限约束。红色曲线表示无界函数，随着x增大，函数值无限增长。在区间[1, +∞)上判断有界性的关键是分析函数值的增长趋势。
这是一道关于函数有界性的数学题。题目给出了四个函数，要求判断在区间[1, +∞)上有界的函数个数。函数有界的定义是：存在正数M，使得对定义域内任意x，都有|f(x)| ≤ M恒成立。我们需要逐一分析每个函数的性质。
现在分析第一个函数 f(x) = x²sin(1/x²)。首先利用正弦函数的有界性，|sin(1/x²)| ≤ 1，因此 |f(x)| = |x²sin(1/x²)| ≤ x²。图中红色曲线表示 y = x²，蓝色曲线表示原函数。当 x 属于区间[1, +∞)时，x² ≥ 1，并且随着 x 的增大而无限增大。因此不存在正数 M 使得 |f(x)| ≤ M 对所有 x ∈ [1, +∞) 恒成立。所以函数①在[1, +∞)上无界。
接下来分析函数② f(x) = sin(x²) + (ln²x)/√x。首先，|sin(x²)| ≤ 1。对于 (ln²x)/√x 部分，我们设 t = √x，则原式变为 4(ln²t)/t。当 t 趋向正无穷时，利用洛必达法则可以证明这个极限等于0。因此 (ln²x)/√x 在[1, +∞)上有界。两个有界函数的和仍然有界，所以函数②在[1, +∞)上有界。
现在分析函数③ f(x) = x²arctan(1/x) + x²e⁻ˣ。首先分析 x²arctan(1/x) 部分。由于 |arctan(1/x)| ≤ π/2，所以 |x²arctan(1/x)| ≤ (π/2)x²。当 x 在[1, +∞)内时，(π/2)x² 随 x 增大而无限增大。虽然 x²e⁻ˣ 部分是有界的，但由于 x²arctan(1/x) 无界，整个函数③在[1, +∞)上无界。
最后分析函数④ f(x) = (1/x²)arctan(1/x)。由于 |arctan(1/x)| ≤ π/2，所以 |f(x)| = |(1/x²)arctan(1/x)| ≤ (π/2)/x²。当 x 属于[1, +∞)时，有 (π/2)/x² ≤ π/2。因此存在正数 M = π/2，使得 |f(x)| ≤ M 对所有 x ∈ [1, +∞) 恒成立。所以函数④在[1, +∞)上有界。
让我们总结一下各函数的有界性。函数①无界，因为它被x²所约束，而x²在[1, +∞)上无界。函数②有界，因为正弦部分和对数部分都有界。函数③无界，因为x²arctan(1/x)项无界。函数④有界，因为它被π/(2x²)约束，而在[1, +∞)上这个值不超过π/2。因此，有界的函数是②和④，共2个函数。答案是选项B。
接下来分析函数② f(x) = sin(x²) + (ln²x)/√x。首先，正弦函数部分 |sin(x²)| ≤ 1，是有界的。对于 (ln²x)/√x 部分，我们设 t = √x，则原式变为 4(ln²t)/t。当 t 趋向正无穷时，利用洛必达法则可以证明这个极限等于0，说明这部分也是有界的。图中绿色曲线表示正弦部分，橙色曲线表示对数部分，蓝色曲线表示总函数。两个有界函数的和仍然有界，所以函数②在[1, +∞)上有界。
现在分析函数③ f(x) = x²arctan(1/x) + x²e⁻ˣ。首先分析 x²arctan(1/x) 部分。由于反正切函数的有界性，|arctan(1/x)| ≤ π/2，所以 |x²arctan(1/x)| ≤ (π/2)x²。当 x 在[1, +∞)内时，(π/2)x² 随 x 增大而无限增大。图中红色曲线表示 x²arctan(1/x)，绿色曲线表示 x²e⁻ˣ，橙色曲线表示上界 (π/2)x²。虽然 x²e⁻ˣ 部分随 x 增大趋于0，但由于主导项 x²arctan(1/x) 无界，整个函数③在[1, +∞)上无界。
最后分析函数④ f(x) = (1/x²)arctan(1/x)。由于反正切函数的有界性，|arctan(1/x)| ≤ π/2，所以 |f(x)| = |(1/x²)arctan(1/x)| ≤ (π/2)/x²。当 x 属于[1, +∞)时，有 (π/2)/x² ≤ π/2。因此存在正数 M = π/2，使得 |f(x)| ≤ M 对所有 x ∈ [1, +∞) 恒成立。所以函数④在[1, +∞)上有界。综合所有分析，有界的函数是②和④，共2个函数。因此答案是选项B。