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极限是微积分中最基础也是最重要的概念之一。它描述了当自变量无限接近某个特定值时，函数值所趋向的目标值。比如在这个例子中，当x趋近于1时，函数f(x)等于x的平方加1的值趋近于2。我们可以看到绿色的点沿着蓝色曲线向红色目标点移动，展示了这种趋近的过程。
极限的严格数学定义使用ε-δ语言来表述。对于函数f(x)在点a处的极限L，我们说：对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，f(x)与L的距离就小于ε。图中绿色的水平线表示ε邻域，橙色的竖直线表示δ邻域。我们可以看到，当调整ε的大小时，相应的δ值也会发生变化。
在极限计算中，我们经常遇到各种未定式，如0/0型、无穷比无穷型等。对于这些情况，我们可以使用洛必达法则来求解。图中展示了两个经典例子：sin x除以x当x趋于0时的极限等于1，这是一个重要极限；而x的平方除以x当x趋于0时的极限等于0。通过观察函数图像，我们可以直观地看到这些极限值。
函数的连续性与极限密切相关。一个函数在某点连续，当且仅当该点的极限值等于函数值。图中展示了三种情况：蓝色线表示连续函数，红色线在x等于1处有跳跃间断，左极限和右极限不相等；绿色线在x等于2处有可去间断点，极限存在但函数值不等于极限值。通过观察这些不同类型的间断点，我们可以更好地理解连续性的概念。