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抽样信号是数字信号处理中的基础概念。它是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。抽样过程可以用数学公式表示为连续信号与抽样函数的乘积。抽样函数是由冲激函数组成的周期序列，抽样周期决定了抽样频率。通过抽样，我们可以将连续的模拟信号转换为计算机能够处理的数字信号。
抽样过程的数学原理基于冲激函数的性质。抽样信号等于连续信号与冲激函数序列的乘积。冲激函数在抽样时刻具有无穷大的幅度，在其他时刻为零。当连续信号与冲激函数序列相乘时，只有在抽样时刻的信号值被保留下来，形成离散的样本点。这个过程将连续信号转换为一系列离散的数值，为数字信号处理奠定了基础。
奈奎斯特抽样定理是数字信号处理的基础理论。该定理指出，为了无失真地重构原始信号，抽样频率必须至少是信号最高频率的两倍。当抽样频率满足这个条件时，频谱的各个副本不会重叠，可以完美重构原信号。但如果抽样频率过低，频谱副本会发生重叠，导致混叠现象。在实际应用中，通常选择更高的抽样频率以确保信号质量。
频谱混叠是抽样不足时产生的严重问题。当抽样频率小于信号最高频率的两倍时，高频分量会被错误地映射到低频区域，造成频谱重叠。这种现象会导致信号失真，无法准确重构原始信号。混叠的数学表达式显示，原始频率会以抽样频率为周期进行折叠。为了防止混叠，可以提高抽样频率，或者在抽样前使用抗混叠滤波器去除高频分量。
抽样信号在实际应用中无处不在。以音频处理为例，人耳可听频率范围是20赫兹到20千赫兹，根据奈奎斯特定理，最小抽样频率应为40千赫兹。实际应用中，CD音质标准采用44.1千赫兹的抽样频率。除了音频处理，抽样技术还广泛应用于图像处理中的像素抽样、通信系统的信号调制、医学成像如CT和MRI，以及雷达系统的目标检测等领域。