请讲解这道题---The following content is extracted from the image: **【综合与实践】** **【认识研究对象】** 教材121页给出了如下定义: 如图1, 如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB (AP > PB), 且 PB/AP = AP/AB, 则我们称点P为线段AB的黄金分割点. 类似, 我们可以定义: 如果一个三角形中, 其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方, 那么就称该三角形为“类黄金三角形”. 如图2, 已知△ABC是“类黄金三角形”, 且 AC < AB < BC. 若AC = 3, BC = 5, 求AB的长. **【探索研究方法】** 如图3, 已知△ABC是“类黄金三角形”, 且 AC < AB < BC. 若∠BAC = 90°, 小滨同学过点A作AD⊥BC 于点D, 发现了两个结论: ① AB² = BD × BC; ② 点D是边BC的黄金分割点; 请给出证明. **【尝试问题解决】** 小滨同学经历以上探索过程发现: 类似问题, 可以通过构造相似三角形等方法解决. 于是开展新的探究, 请解决以下问题: 如图4, 已知△ABC是“类黄金三角形”, 且 AC < AB < BC. 若BC = 2, ∠A = 90° + 1/2∠C, 求AB的长. **Chart/Diagram Description:** No charts or diagrams are present in the provided image for description. The text refers to "Figure 1", "Figure 2", "Figure 3", and "Figure 4", implying that these figures would accompany the text in a complete problem set, but they are not included in the image provided.

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今天我们来学习黄金分割和类黄金三角形的概念。首先，黄金分割点是指将线段分成两段的特殊点，满足短段与长段的比等于长段与整段的比。类似地，类黄金三角形是指最长边与最短边的乘积等于第三边平方的特殊三角形。 现在我们来解决第一个具体问题。已知三角形ABC是类黄金三角形，边长关系为AC小于AB小于BC，其中AC等于3，BC等于5，求AB的长。根据类黄金三角形的定义，最短边AC与最长边BC的乘积等于第三边AB的平方。因此我们有3乘以5等于AB的平方，即AB的平方等于15，所以AB等于根号15。 现在我们探索直角类黄金三角形的特殊性质。当三角形ABC是类黄金三角形且角BAC为直角时，过点A作AD垂直于BC交于点D。通过几何分析，我们发现两个重要结论：第一，AB的平方等于BD乘以BC；第二，点D是边BC的黄金分割点。这些结论的证明关键在于利用相似三角形的性质，特别是三角形ABD与三角形CBA相似，以及三角形ACD与三角形CBA相似。 现在我们来详细证明这两个重要结论。首先证明AB的平方等于BD乘以BC。由于角BAC是直角，AD垂直于BC，我们可以证明三角形ABD与三角形CBA相似。根据相似三角形的性质，AB比CB等于BD比AB，因此AB的平方等于BD乘以BC。接下来证明点D是BC的黄金分割点。由类黄金三角形的定义，AC乘以BC等于AB的平方。结合第一个结论，我们得到AC等于BD。再利用三角形ACD与CBA的相似性，可以证明BD比AD等于AD比CD，这正是黄金分割的定义。 最后我们来解决一个综合应用问题。已知三角形ABC是类黄金三角形，边长关系为AC小于AB小于BC，BC等于2，角A等于90度加上二分之一角C，求AB的长。我们设角C等于2α，则角A等于90度加α，角B等于90度减3α。利用正弦定理，AB比sin C等于BC比sin A，可得AB等于2倍sin 2α除以cos α。结合类黄金三角形的性质AC乘以BC等于AB的平方，通过复杂的代数运算，最终求得AB等于根号3减1。