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这是一个经典的几何优化问题。给定直线l同一侧的两点A和B，我们需要在直线l上找到一点P，使得PA加PB的距离和最小。让我们观察当点P在直线上移动时，距离和是如何变化的。
要解决这个问题，我们需要运用轴对称的原理。首先作点A关于直线l的对称点A撇。根据轴对称的性质，对称点到直线的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴。最重要的是，对于直线l上的任意一点P，都有PA等于PA撇这个关键性质。
现在我们来构造最短路径。由于PA等于PA撇，所以PA加PB等于PA撇加PB。根据两点间直线距离最短的原理，当P是直线A撇B与直线l的交点时，PA撇加PB等于A撇B，达到最小值。我们可以对比其他位置的点，验证此时PA加PB确实最小。
现在我们来验证解法的正确性。根据三角形两边之和大于第三边的原理，对于直线l上任意其他点P撇，都有PA撇加P撇B大于A撇B。由于PA等于PA撇，所以PA加P撇B大于A撇B，也就是大于PA加PB的最小值。通过动态演示可以看到，当P偏离最优位置时，路径长度确实增大了。
让我们总结对称变换求最值的一般方法。首先识别约束条件，比如点在直线上；然后作对称变换，作关于约束直线的对称点；接着连接对称点与目标点；最后求交点得到最优解。这个方法还可以推广到其他情况，比如点在圆上的约束问题，同样可以运用对称变换的思想来解决。