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虚指数函数是复分析中的重要概念。我们从实指数函数出发，引入虚指数函数。欧拉公式告诉我们，e的ix次方等于余弦x加上i倍正弦x。这个公式可以通过泰勒级数展开来证明。将e的ix次方按泰勒级数展开，整理实部和虚部，最终得到余弦函数和正弦函数的组合。在复平面上，这表示单位圆上的一个点。
在复平面上，虚指数函数e的ix次方具有清晰的几何意义。它表示单位圆上的一个点，其中x是角度参数。当x从0变化到2π时，这个点沿着单位圆运动一周。点的实部坐标是余弦x，虚部坐标是正弦x。这个函数的模长始终等于1，幅角等于x。由于三角函数的周期性，虚指数函数也具有2π的周期性。
现在我们分析一般形式的虚指数函数e的a加bi次方。根据指数法则，它等于e的a次方乘以e的bi次方，也就是e的a次方乘以余弦b加i正弦b。在这个表达式中，实部a控制复数的模长，等于e的a次方。虚部b控制复数的幅角，等于b。当a大于0时，模长大于1，点在单位圆外。当a小于0时，模长小于1，点在单位圆内。当a等于0时，点在单位圆上。
虚指数函数具有重要的数学性质。首先是乘法性质：e的i倍x加y次方等于e的ix次方乘以e的iy次方。这可以通过展开复数乘法来证明。左边等于余弦x加y加i正弦x加y，右边展开后利用三角恒等式也得到相同结果。其次是周期性：e的i倍x加2π次方等于e的ix次方。最后是德摩弗定理：e的i倍θ的n次方等于e的i倍nθ次方，这在复数的幂运算中非常有用。
现在通过具体例题来展示虚指数函数的应用。例题一：计算e的i倍π除以4次方。根据欧拉公式，这等于余弦π除以4加i正弦π除以4，结果是根号2除以2加i根号2除以2。例题二：求e的2加3i次方的模和幅角。将其分解为e的2次方乘以e的3i次方，模长是e的2次方约等于7.39，幅角是3弧度。例题三：利用欧拉公式推导恒等式。e的iθ次方加e的负iθ次方等于2倍余弦θ，这可以通过展开复数形式直接验证。