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二项式定理是代数中的重要定理，它告诉我们如何展开二项式的幂。让我们从简单的例子开始：(a+b)的平方等于a平方加2ab加b平方，(a+b)的三次方等于a三次方加3a平方b加3ab平方加b三次方。观察这些展开式，我们可以发现系数遵循一定的规律。二项式定理的一般形式是：(a+b)的n次方等于从k等于0到n的求和，每一项是C(n,k)乘以a的n减k次方乘以b的k次方。其中C(n,k)称为二项式系数，等于n的阶乘除以k的阶乘乘以n减k的阶乘。
二项式系数C(n,k)是二项式定理的核心概念。它的计算公式是n的阶乘除以k的阶乘乘以n减k的阶乘。二项式系数有几个重要性质：首先，C(n,0)和C(n,n)都等于1；其次，C(n,k)等于C(n,n-k)，这体现了对称性；第三，有递推关系C(n,k)等于C(n-1,k-1)加上C(n-1,k)。这些系数排列成三角形就是著名的帕斯卡三角形。例如，C(4,2)等于4的阶乘除以2的阶乘乘以2的阶乘，等于24除以4，等于6。帕斯卡三角形的每一行对应不同的n值，每个位置的数字就是对应的二项式系数，具有明显的对称性。
现在我们来推导二项式展开的通项公式。从二项式定理出发，(a+b)的n次方等于从k等于0到n的求和，每一项是C(n,k)乘以a的n减k次方乘以b的k次方。我们可以将展开式写成T1加T2加T3一直到T(n+1)的形式。其中第一项T1等于C(n,0)乘以a的n次方乘以b的0次方，第二项T2等于C(n,1)乘以a的n减1次方乘以b的1次方，第三项T3等于C(n,2)乘以a的n减2次方乘以b的2次方。由此可以得出通项公式：第k+1项等于C(n,k)乘以a的n减k次方乘以b的k次方。这里要特别注意，第k+1项对应的是C(n,k)而不是C(n,k+1)。让我们用(x+y)的5次方来验证：当k等于0时，T1等于C(5,0)乘以x的5次方等于x的5次方；当k等于1时，T2等于C(5,1)乘以x的4次方乘以y等于5x的4次方y；当k等于2时，T3等于C(5,2)乘以x的3次方乘以y的2次方等于10x的3次方y的2次方。
现在我们来分析具体题目：求(3x-8y)的16次方的第15项。首先要识别参数：在二项式(a+b)的n次方中，a等于3x，b等于负8y，n等于16。要求第15项，根据通项公式，第15项对应的是第k+1项，其中k等于14。因此我们需要计算T15等于C(16,14)乘以(3x)的16减14次方乘以(-8y)的14次方，也就是C(16,14)乘以(3x)的2次方乘以(-8y)的14次方。解题步骤包括：第一步计算组合数C(16,14)，第二步计算(3x)的2次方，第三步计算(-8y)的14次方，最后将所有结果相乘得到最终答案。这个框架图清楚地展示了从原问题到参数识别，再到具体公式的分析过程。
现在我们详细计算(3x-8y)的16次方的第15项。第一步计算组合数C(16,14)。利用对称性，C(16,14)等于C(16,2)，等于16的阶乘除以2的阶乘乘以14的阶乘。化简得到16乘以15除以2乘以1，等于240除以2，等于120。第二步计算(3x)的2次方，等于3的2次方乘以x的2次方，等于9x的2次方。第三步计算(-8y)的14次方。由于14是偶数，所以(-8)的14次方等于8的14次方，是正数。8的14次方等于2的3次方的14次方，等于2的42次方。第四步组合所有结果：T15等于120乘以9x的2次方乘以2的42次方乘以y的14次方，等于1080乘以2的42次方乘以x的2次方y的14次方。其中2的42次方等于4398046511104，所以最终答案是4749930311872320x的2次方y的14次方。