**题目**： 已知函数$f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^2}\sin tdt$，$g(x)=\int_{0}^{x}e^{t^2}dt\cdot\sin^{2}x$，则（ ）. $A.$$x = 0$是$f(x)$的极值点，也是$g(x)$的极值点 $B.$$x = 0$是$f(x)$的极值点，$(0,0)$是曲线$y = g(x)$的拐点 $C.$$x = 0$是$f(x)$的极值点，$(0,0)$是曲线$y = f(x)$的拐点 $D.$$(0,0)$是曲线$y = f(x)$的拐点，也是曲线$y = g(x)$的拐点 **答案**：$B$

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

我们来分析两个积分函数的性质。函数f(x)是从0到x对e的t平方乘以sin t的积分，函数g(x)是从0到x对e的t平方积分再乘以sin平方x。我们需要判断x等于0是否为这两个函数的极值点，以及原点是否为它们图像的拐点。 现在我们分析函数f(x)的导数。根据莱布尼茨积分法则，变上限积分的导数等于被积函数在上限处的值。因此f的一阶导数等于e的x平方乘以sin x。继续求二阶导数，运用乘积法则得到2x乘以e的x平方乘以sin x加上e的x平方乘以cos x。在x等于0处，一阶导数为0，二阶导数为1。 现在分析函数g(x)的导数。g(x)是两个函数的乘积，设u(x)为积分部分，v(x)为sin平方x。运用乘积法则，g的一阶导数等于u'乘以v加上u乘以v'。其中u'等于e的x平方，v'等于2sinx乘以cosx。在x等于0处，g'(0)等于0，通过进一步计算可得g''(0)也等于0。这与f(x)的情况形成对比。 现在判定极值点。极值点的必要条件是一阶导数为零，充分条件是二阶导数不为零。对于f(x)，f'(0)等于0，f''(0)等于1大于0，所以x等于0是f(x)的极小值点。对于g(x)，虽然g'(0)等于0，但g''(0)也等于0，二阶导数测试失效。通过更高阶分析可知x等于0不是g(x)的极值点。 现在判定拐点。拐点的必要条件是二阶导数为零，充分条件是二阶导数在该点处变号。对于f(x)，f''(0)等于1不等于0，所以原点不是f(x)的拐点。对于g(x)，g''(0)等于0，需要检查更高阶导数。通过计算发现g的三阶导数在0处也为0，但四阶导数为24大于0，说明原点是g(x)的拐点。