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在学习一元函数时，我们用导数来描述函数的变化率。但当函数有多个变量时，比如二元函数z等于f(x,y)，情况就变得复杂了。这时我们需要偏导数来分别描述函数对每个变量的变化率。偏导数的核心思想是：固定其他变量，只让一个变量发生变化，观察函数值的变化情况。
偏导数的严格数学定义是：偏f对偏x等于当h趋向于0时，f(x+h,y)减去f(x,y)再除以h的极限。这个定义与一元函数导数类似，但关键区别是y保持不变。偏导数有多种记号表示方法，包括f下标x、偏f偏x、偏z偏x等。偏字的含义就是只对一个变量求导，把其他变量都视为常数。
偏导数具有清晰的几何意义。对x的偏导数表示曲面在某点处平行于xz平面的截面曲线的切线斜率，而对y的偏导数表示平行于yz平面的截面曲线的切线斜率。通过用不同颜色的平面切割三维曲面，我们可以直观地看到这些截面曲线。红色平面显示x方向的截面，绿色平面显示y方向的截面，对应的黄色和橙色曲线就是截面曲线，它们的切线斜率就是相应的偏导数值。
偏导数的计算方法很直观：将其他变量视为常数，按照一元函数的求导法则进行计算。基本运算规则包括加法法则、乘积法则和链式法则等。让我们通过一个具体例子来演示：对于函数f(x,y)等于x²y加3xy²，求偏导数。对x求偏导时，把y看作常数，x²y的导数是2xy，3xy²的导数是3y²，所以结果是2xy加3y²。对y求偏导时，把x看作常数，x²y的导数是x²，3xy²的导数是6xy，所以结果是x²加6xy。
现在我们通过三个典型例题来加深对偏导数计算的理解。例题1是多项式函数f(x,y)等于x³加2x²y减y³。对x求偏导得到3x²加4xy，对y求偏导得到2x²减3y²。例题2是指数函数f(x,y)等于e的xy次方。利用链式法则，对x求偏导得到y乘以e的xy次方，对y求偏导得到x乘以e的xy次方。例题3是三元函数f(x,y,z)等于xyz加x²z。对x求偏导得到yz加2xz，对y求偏导得到xz，对z求偏导得到xy加x²。这些例题展示了不同类型函数的偏导数计算方法。