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和差问题是数学中的一种基础问题类型。当我们知道两个数的和与差时,就可以通过特定的方法求出这两个具体的数。和是指两个数相加的结果,差是指两个数相减的结果。这类问题的特点是已知条件为和与差,求解目标是两个未知数。
现在我们来推导和差问题的核心公式。设两个数为x和y,其中x大于等于y。根据题意,x加y等于和,x减y等于差。将这两个方程相加,得到2x等于和加差,所以x等于和加差除以2。将两个方程相减,得到2y等于和减差,所以y等于和减差除以2。因此我们得到公式:较大数等于和加差除以2,较小数等于和减差除以2。
现在我们通过一个具体例题来应用刚才推导的公式。题目是:两个数的和是20,差是4,求这两个数。根据公式,较大数等于和加差除以2,即20加4除以2等于12。较小数等于和减差除以2,即20减4除以2等于8。让我们验证一下:12加8确实等于20,12减8确实等于4,所以答案正确。这两个数是12和8。
和差问题在实际生活中有很多应用。比如年龄问题:父子两人年龄之和是50岁,年龄之差是26岁,求父子年龄。根据公式,父亲年龄等于50加26除以2等于38岁,儿子年龄等于50减26除以2等于12岁。再比如重量问题:两个苹果的重量之和是300克,重量之差是50克,求各自重量。大苹果重量等于300加50除以2等于175克,小苹果重量等于300减50除以2等于125克。解题的关键是找出和与差,确定较大数和较小数,然后应用公式求解。
和差问题还有许多变式形式。变式一是已知和与倍数关系:两数之和为15,大数是小数的2倍,求这两个数。设小数为x,则大数为2x,x加2x等于15,所以3x等于15,x等于5。因此小数是5,大数是10。变式二是已知差与倍数关系:两数之差为6,大数是小数的3倍,求这两个数。设小数为y,则大数为3y,3y减y等于6,所以2y等于6,y等于3。因此小数是3,大数是9。还有三个数的和差问题等更复杂的情况。解题的关键是灵活设未知数,建立方程组,运用和差思想。