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平行四边形是初中几何的重要概念。我们先来看它的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。在图形中，我们可以看到边AB平行于边CD，边BC平行于边AD。平行四边形通常记作□ABCD，读作平行四边形ABCD。
平行四边形有四个重要的性质定理。性质一：对边相等，即AB等于CD，BC等于AD。性质二：对角相等，即角A等于角C，角B等于角D。性质三：对角线互相平分，对角线的交点O平分两条对角线。性质四：平行四边形是中心对称图形，绕中心点O旋转180度与自身重合。这些性质是解决平行四边形问题的重要工具。
现在我们来证明平行四边形对边相等这一重要性质。已知四边形ABCD是平行四边形，要求证AB等于CD，BC等于AD。证明思路是连接对角线AC作为辅助线。由于AB平行于CD，BC平行于AD，根据平行线的性质，角BAC等于角DCA，角BCA等于角DAC，这是内错角相等。又因为AC是公共边，所以三角形ABC全等于三角形CDA，根据ASA判定法。因此AB等于CD，BC等于AD，证明完毕。
要判定一个四边形是平行四边形，我们有五种判定方法。判定一：两组对边分别平行，这是定义法。判定二：两组对边分别相等。判定三：一组对边既平行又相等。判定四：两条对角线互相平分。判定五：两组对角分别相等。这些判定定理为我们提供了多种识别平行四边形的方法，在解题时可以根据已知条件选择合适的判定方法。
现在我们通过一个经典例题来应用判定定理。已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，要求证四边形EFGH是平行四边形。证明思路是连接对角线AC和BD作为辅助线。由于E、F分别是AB、BC的中点，所以EF是三角形ABC的中位线，根据中位线定理，EF平行于AC且等于二分之一AC。同样地，GH也平行于AC且等于二分之一AC。因此EF平行且等于GH，根据一组对边平行且相等的判定定理，四边形EFGH是平行四边形。这个结论告诉我们，任意四边形的中点四边形都是平行四边形。