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微积分求面积是数学中的重要概念。基本思想是将不规则的曲线下方区域分割成无穷多个极小的矩形。当矩形数量趋于无穷，宽度趋于零时，所有矩形面积的和就等于曲线下方的精确面积。这个过程用定积分来表示，公式为从a到b对f(x)的积分。
定积分的数学表达式是从a到b对f(x)的积分，等于黎曼和的极限。这里a是积分下限，b是积分上限，f(x)是被积函数。黎曼和是将区间分成n个小段，每段宽度为Δx，高度为f(xi)，所有小矩形面积的和。当n趋于无穷时，黎曼和的极限就是定积分的值，也就是曲线下方的精确面积。
现在我们通过具体例题来演示如何计算单一函数的阴影面积。题目是求y等于x平方在区间0到2与x轴围成的面积。首先建立积分式，从0到2对x平方积分。第一步求原函数，x平方的原函数是x立方除以3加常数C。第二步计算定积分，将上下限代入原函数相减，得到8除以3减去0，结果是8除以3。因此阴影面积为8除以3平方单位。
当阴影区域由两个函数围成时，我们需要先求交点，再确定被积函数。以y等于x平方和y等于2x为例。第一步求交点，令x平方等于2x，得到x平方减2x等于0，因式分解得x乘以x减2等于0，所以x等于0或x等于2。第二步确定被积函数，在区间0到2上，直线y等于2x在抛物线y等于x平方的上方，所以被积函数是2x减x平方。计算定积分得到x平方减x立方除以3，代入上下限得4减8除以3，结果是4除以3平方单位。
对于复杂的阴影区域，需要分段处理。以函数y等于x立方减3x平方加2x与x轴围成的区域为例。第一步求与x轴的交点，令函数等于零，因式分解得x乘以x减1乘以x减2等于零，所以交点为x等于0、1、2。由于函数在不同区间有正负变化，需要分段计算面积。在区间0到1，函数为正值，在区间1到2，函数为负值。因此总面积等于两个区间积分的绝对值之和，计算结果为1除以12加1除以12等于1除以6平方单位。