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平行四边形是初中几何的重要概念。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。如图所示，在四边形ABCD中，AB平行于DC，AD平行于BC，所以ABCD是平行四边形，记作□ABCD。
平行四边形有四个重要性质。第一，对边相等且平行，如AB等于CD，AD等于BC。第二，对角相等，角A等于角C，角B等于角D。第三，对角线互相平分，对角线AC与BD相交于点O，AO等于OC，BO等于OD。第四，平行四边形是中心对称图形，绕中心点O旋转180度后与原图形重合。
现在我们通过一个具体例题来应用平行四边形的性质。在平行四边形ABCD中，已知角A等于65度，求其他各角的度数。根据平行四边形对角相等的性质，角C等于角A，所以角C等于65度。根据平行四边形邻角互补的性质，角B等于180度减去65度，等于115度。同样，角D等于角B，也等于115度。
要判定一个四边形是平行四边形，有五种方法。第一种，两组对边分别平行。第二种，两组对边分别相等。第三种，一组对边平行且相等。第四种，两组对角分别相等。第五种，对角线互相平分。这些判定方法是平行四边形性质的逆向应用，为我们证明四边形是平行四边形提供了多种途径。
现在我们通过一个具体例题来应用平行四边形的判定方法。已知四边形ABCD中，AB平行于DC，AB等于DC，要求证明四边形ABCD是平行四边形。证明过程如下：连接AC，因为AB平行于DC且AB等于DC，所以在三角形ABC和三角形CDA中，AB等于DC，角BAC等于角DCA，AC等于CA，根据SAS可得三角形ABC全等于三角形CDA，因此AD等于BC。结合已知条件AB平行于DC，可得四边形ABCD是平行四边形。