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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们用字母a和b表示两条直角边，用c表示斜边，那么勾股定理可以表示为a的平方加b的平方等于c的平方。这个定理在中国古代就被发现，被称为勾股定理，而在西方则被称为毕达哥拉斯定理。
现在我们用几何方法来证明勾股定理。首先构造一个边长为a加b的大正方形。然后将这个大正方形分解为四个相同的直角三角形和一个边长为c的小正方形。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于四个直角三角形的面积加上小正方形的面积。每个直角三角形的面积是二分之一ab，所以四个三角形的面积是2ab。因此我们得到a加b的平方等于2ab加c的平方。展开左边得到a的平方加2ab加b的平方等于2ab加c的平方。消去两边的2ab，就得到了a的平方加b的平方等于c的平方，这就证明了勾股定理。
现在让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的例子是3-4-5直角三角形。我们计算3的平方加4的平方，等于9加16，等于25，正好等于5的平方。我们可以用不同颜色的正方形来表示各边的平方，直观地看到面积关系。另一个经典例子是5-12-13直角三角形。5的平方加12的平方等于25加144，等于169，正好等于13的平方。这些整数组合被称为勾股数，它们完美地满足勾股定理的关系。
勾股定理在实际生活中有很多应用。第一个例子是梯子靠墙问题。如果墙高4米，梯子底部距离墙3米，那么梯子的长度就是3的平方加4的平方再开平方根，等于5米。第二个例子是计算矩形的对角线长度。对于长6米宽8米的矩形，对角线长度是6的平方加8的平方再开平方根，等于10米。第三个例子是计算两点间的距离。从坐标原点到点(3,4)的距离，就是3的平方加4的平方再开平方根，等于5。这些都是勾股定理在实际问题中的直接应用。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边长满足a的平方加b的平方等于c的平方，那么这个三角形就是直角三角形。让我们通过例子来验证。对于边长为7、24、25的三角形，我们计算7的平方加24的平方等于49加576等于625，正好等于25的平方，所以这是一个直角三角形。相反，对于边长为3、4、6的三角形，3的平方加4的平方等于9加16等于25，但不等于6的平方36，所以这不是直角三角形。逆定理为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的有效方法。