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角平分线是几何学中的重要概念。角平分线将一个角分成两个相等的角。角平分线最重要的性质是：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。这里的距离指的是垂直距离，也就是点到直线的最短距离。这个性质定理是解决很多几何问题的关键工具。
现在我们来看如何利用角平分线性质求线段长度。这是一个典型的例题：已知OC是角AOB的角平分线，点P在OC上，PD垂直于OA，PE垂直于OB，已知PD等于3厘米，求PE的长度。解题思路很简单：首先识别角平分线，然后应用角平分线性质定理，由于点P在角平分线上，所以P到角两边的距离相等，因此PD等于PE，都等于3厘米。
角平分线与平行线结合是几何中的经典题型。当角平分线遇到平行线时，会产生很多有趣的性质。我们来看这个例题：已知AB平行于CD，角BAE的角平分线AF交CD于点F，要证明三角形AEF是等腰三角形。证明思路是：首先利用平行线的性质，得到同位角相等；然后结合角平分线的性质，可以证明角EAF等于角AFE；根据等角对等边的性质，得出AE等于EF，从而证明三角形AEF是等腰三角形。
角平分线判定定理是性质定理的逆定理，用于证明一条射线是角的平分线。判定定理的内容是：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。我们要区分性质和判定：性质是已知角平分线推出距离相等，判定是已知距离相等推出角平分线。例题中，已知点P到角AOB两边的距离相等，要证明OP是角AOB的角平分线。证明方法是利用全等三角形：在直角三角形PDO和PEO中，由于PD等于PE，PO是公共边，根据HL定理可得两三角形全等，从而角POA等于角POB，所以OP平分角AOB。
三角形内角平分线定理是角平分线的重要应用。定理内容是：三角形内角平分线分对边成的两段与相邻两边成比例。用公式表示就是BD比DC等于AB比AC。我们来看这个例题：在三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，已知AB等于6厘米，AC等于9厘米，BC等于10厘米，求BD和DC的长度。解题步骤是：首先应用内角平分线定理，BD比DC等于AB比AC，也就是6比9，化简为2比3。设BD等于x，则DC等于10减x。建立方程：x除以10减x等于2除以3。交叉相乘得到3x等于2倍的10减x，即3x等于20减2x，解得5x等于20，所以x等于4。因此BD等于4厘米，DC等于6厘米。