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勾股定理是初中几何的重要定理。它告诉我们,在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,用公式表示就是a²+b²=c²。例如,当直角边分别为3和4时,我们可以计算出斜边长度为5。这个定理帮助我们在已知直角三角形的情况下求出未知边长。
现在我们来学习勾股定理的逆定理。勾股定理告诉我们,如果有一个直角三角形,那么它的三边一定满足a²+b²=c²的关系。而逆定理则是反过来思考:如果三角形的三边满足a²+b²=c²,那么这个三角形一定是直角三角形。这种思维转换让我们可以通过边长关系来判断三角形的形状。
勾股定理的逆定理完整表述为:如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形。这里有几个关键要点需要注意:首先,c必须是最长边,也就是斜边;其次,我们需要验证三边是否满足a²+b²=c²的关系;最后得出这是直角三角形的结论。例如边长为3、4、5的三角形,因为3²+4²=9+16=25=5²,所以它是直角三角形。
现在我们来证明勾股定理的逆定理。采用构造法进行证明:已知三角形ABC的三边满足a²+b²=c²,要证明它是直角三角形。我们构造一个直角三角形A'B'C',使其两直角边分别为a和b。根据勾股定理,这个构造三角形的斜边c'满足c'²=a²+b²。由于已知条件a²+b²=c²,所以c'²=c²,因此c'=c。这样两个三角形的三边分别相等,根据SSS全等定理,两三角形全等。因此原三角形ABC也是直角三角形。
现在我们通过一个典型例题来学习如何应用勾股定理的逆定理。题目是:已知三角形三边长分别为3、4、5,判断该三角形的形状。解题步骤如下:首先确定最长边,这里c等于5;然后验证边长关系,计算3²+4²等于9+16等于25,而5²也等于25,所以3²+4²=5²成立;因此根据勾股定理逆定理,可以得出结论:该三角形是直角三角形。