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勾股定理是初中几何的重要定理。它告诉我们，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，用公式表示就是a²+b²=c²。例如，当直角边分别为3和4时，我们可以计算出斜边长度为5。这个定理帮助我们在已知直角三角形的情况下求出未知边长。
现在我们来学习勾股定理的逆定理。勾股定理告诉我们，如果有一个直角三角形，那么它的三边一定满足a²+b²=c²的关系。而逆定理则是反过来思考：如果三角形的三边满足a²+b²=c²，那么这个三角形一定是直角三角形。这种思维转换让我们可以通过边长关系来判断三角形的形状。
勾股定理的逆定理完整表述为：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。这里有几个关键要点需要注意：首先，c必须是最长边，也就是斜边；其次，我们需要验证三边是否满足a²+b²=c²的关系；最后得出这是直角三角形的结论。例如边长为3、4、5的三角形，因为3²+4²=9+16=25=5²，所以它是直角三角形。
现在我们来证明勾股定理的逆定理。采用构造法进行证明：已知三角形ABC的三边满足a²+b²=c²，要证明它是直角三角形。我们构造一个直角三角形A'B'C'，使其两直角边分别为a和b。根据勾股定理，这个构造三角形的斜边c'满足c'²=a²+b²。由于已知条件a²+b²=c²，所以c'²=c²，因此c'=c。这样两个三角形的三边分别相等，根据SSS全等定理，两三角形全等。因此原三角形ABC也是直角三角形。
现在我们通过一个典型例题来学习如何应用勾股定理的逆定理。题目是：已知三角形三边长分别为3、4、5，判断该三角形的形状。解题步骤如下：首先确定最长边，这里c等于5；然后验证边长关系，计算3²+4²等于9+16等于25，而5²也等于25，所以3²+4²=5²成立；因此根据勾股定理逆定理，可以得出结论：该三角形是直角三角形。