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导数是微积分中的核心概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。我们从日常生活中的变化率开始理解，比如汽车的速度就是位移对时间的变化率。在数学中，我们首先考虑平均变化率，也就是函数图像上两点间割线的斜率。
当我们让第二个点逐渐靠近第一个点时，割线的斜率会逐渐变化。当两点无限接近时，割线就变成了切线，而切线的斜率就是函数在该点的导数值，这就是瞬时变化率的几何意义。
导数的严格数学定义使用极限的概念。对于函数f(x)，它在点x处的导数定义为：当h趋近于0时，差商f(x+h)减去f(x)除以h的极限值。这个定义将我们之前看到的几何直观转化为精确的数学表达式。
让我们通过具体例子来理解这个定义。以f(x)等于x的平方为例，我们来计算它的导数。首先计算f(x+h)，然后求差商，最后取极限。通过代数运算，我们得到f'(x)等于2x。
导数的几何意义是函数图像在某点处切线的斜率。当导数为正时，函数在该点递增；当导数为负时，函数在该点递减。导数的绝对值越大，表示函数在该点变化得越快，对应的切线越陡峭。
让我们看一个具体例子。对于函数y等于x的三次方，我们要求在点(1,1)处的切线方程。首先求导数f'(x)等于3x的平方，然后计算在x等于1处的导数值为3，这就是切线的斜率。利用点斜式可得切线方程为y等于3x减2。