La variación promedio y la variación instantánea son conceptos fundamentales en cálculo. La variación promedio representa la pendiente de la recta secante entre dos puntos de una función, mientras que la variación instantánea es la pendiente de la recta tangente en un punto específico.
La variación promedio se define como el cociente entre el cambio en la variable dependiente y el cambio en la variable independiente. Matemáticamente, es f de b menos f de a, dividido por b menos a. Geométricamente, representa la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la función.
La variación instantánea se define como el límite de la variación promedio cuando el incremento h tiende a cero. Este límite, cuando existe, se llama derivada de la función en el punto a. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto específico.
Veamos un ejemplo con la función f de x igual a x al cuadrado. Para calcular la variación promedio en el intervalo de 1 a 3, usamos la fórmula: f de 3 menos f de 1, dividido por 3 menos 1, que es 9 menos 1 sobre 2, igual a 4. Para la variación instantánea en x igual a 2, calculamos la derivada: f prima de x es 2x, entonces f prima de 2 es 4. En este caso particular, ambos valores coinciden.