复数的四则运算 **🔍 重要性：** 复数运算是复数理论的核心内容 **核心要点：** - 复数的加减运算 - 复数的乘除运算 - 共轭复数的性质 - 复数运算的几何意义 **复数的四则运算：** 1. **加法和减法：** ``` (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 几何意义：复数加法对应向量加法 ``` 2. **乘法：** ``` (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 特别地： (a + bi)² = a² - b² + 2abi ``` 3. **除法：** ``` (a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c - di)]/[(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i]/(c² + d²) 前提：c + di ≠ 0 ``` **共轭复数：** 1. **定义：** ``` 复数z = a + bi的共轭复数记作z̄ = a - bi ``` 2. **性质：** ``` 1. z + z̄ = 2a (实数) 2. z - z̄ = 2bi (纯虚数或0) 3. z · z̄ = a² + b² = |z|² 4. z̄₁ ± z̄₂ = z₁ ± z₂ 5. z̄₁ · z̄₂ = z₁ · z₂ 6. (z₁/z₂)⁻ = z̄₁/z̄₂ ``` **复数运算的几何意义：** 1. **乘法的几何意义：** ``` |z₁z₂| = |z₁||z₂| arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) 即：模相乘，幅角相加 ``` 2. **除法的几何意义：** ``` |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| arg(z₁/z₂) = arg(z₁) - arg(z₂) 即：模相除，幅角相减 ``` ---