生成这个题目的讲解---**Question 4** **Question Stem:** 设 x ∈ R, 则 “sin x = 1” 是 “cos x = 0” 的 ( ) (Let x ∈ R, then “sin x = 1” is a ( ) condition for “cos x = 0”.) **Options:** A. 充分不必要条件 (Sufficient but not necessary condition) B. 必要不充分条件 (Necessary but not sufficient condition) C. 充分必要条件 (Sufficient and necessary condition) D. 既不充分也不必要条件 (Neither sufficient nor necessary condition)

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我们来分析这道关于充分必要条件的题目。题目问的是：当x属于实数时，sin x等于1是cos x等于0的什么条件。首先回顾充分必要条件的概念：如果p能推出q，那么p是q的充分条件；如果q能推出p，那么p是q的必要条件；如果p和q能相互推出，那么p是q的充分必要条件。 现在我们分析涉及的三角函数性质。当sin x等于1时，在单位圆上对应的点是最高点，此时x等于π/2加上2kπ，其中k是任意整数。当cos x等于0时，对应单位圆上y轴上的两个点，此时x等于π/2加上kπ。通过单位圆可以清楚地看出，sin x等于1的点集合是cos x等于0点集合的一个子集。 现在我们分析充分性，即sin x等于1是否能推出cos x等于0。当sin x等于1时，x等于π/2加上2kπ，其中k是任意整数。我们来验证此时cos x的值：cos(π/2加上2kπ)等于cos(π/2)等于0。通过单位圆可以看出，当点在最高位置时，其x坐标确实为0，即cos值为0。因此，sin x等于1能够推出cos x等于0，充分性成立。 接下来分析必要性，即cos x等于0是否能推出sin x等于1。当cos x等于0时，x等于π/2加上kπ，其中k是任意整数。我们需要分情况讨论：当k为偶数时，x等于π/2加上2nπ，此时sin x等于1；但当k为奇数时，x等于3π/2加上2nπ，此时sin x等于负1。这里有一个反例：当x等于3π/2时，cos x等于0，但sin x等于负1而不是1。因此，cos x等于0不能推出sin x等于1，必要性不成立。