2 复数的几何意义 **🔍 重要性：** 复数的几何表示为复数运算提供了直观的解释 **核心要点：** - 复平面的概念 - 复数的模和幅角 - 复数的向量表示 - 复数的极坐标形式 **复平面：** 1. **复数的几何表示：** ``` 复数z = a + bi可以用复平面内的点(a, b)表示 复平面： - 横轴（实轴）：表示实部 - 纵轴（虚轴）：表示虚部 - 原点：表示复数0 ``` 2. **复数的向量表示：** ``` 复数z = a + bi对应从原点到点(a, b)的向量 向量的坐标：(a, b) 向量的长度：|z| = √(a² + b²) ``` **复数的模：** ``` 定义：|z| = |a + bi| = √(a² + b²) 性质： 1. |z| ≥ 0，等号成立当且仅当z = 0 2. |z₁z₂| = |z₁||z₂| 3. |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| (z₂ ≠ 0) 4. |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (三角不等式) ``` **复数的幅角：** ``` 定义：复数z = a + bi (z ≠ 0)对应的向量与正实轴的夹角 称为复数z的幅角，记作arg(z) 主值：在[0, 2π)或(-π, π]内的幅角值称为幅角主值 计算：tan(arg(z)) = b/a (需要根据a, b的符号确定象限) ```