帮我讲解从审题，问题解决思路，及具体推算用一到两种不同方式讲解这两道题目---**Question Stem:** 设函数 $f(x) = \sin x - \frac{1}{5} \sin 5x$, 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 内： **Sub-question 1:** 求 $f'(x)$ 并解方程 $f'(x) = 0$; **Sub-question 2:** 证明: $f(x)$ 在给定区间内满足某个不等式 9 10。

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

我们来分析这道三角函数题目。给定函数f(x)等于sin x减去五分之一倍的sin 5x，定义域是从0到π/4。题目包含两个子问题：第一问要求f(x)的导数并解方程f'(x)等于0；第二问要证明f(x)在给定区间内满足某个不等式。从函数图像可以看出，这是一个在小区间内的复合三角函数，我们需要运用求导法则和三角恒等式来解决问题。 现在我们来计算f(x)的导数。根据基本三角函数求导公式，sin x的导数是cos x。对于复合函数sin 5x，我们需要运用链式法则，它的导数是5倍的cos 5x。因此f'(x)等于cos x减去五分之一乘以5倍cos 5x，化简后得到f'(x)等于cos x减去cos 5x。这就是我们要求的导数表达式。 现在我们来解方程f'(x)等于0，即cos x减去cos 5x等于0。我们可以用两种方法来解决。方法一是运用和差化积公式，cos A减去cos B等于负2倍sin二分之A加B乘以sin二分之A减B。将A等于x，B等于5x代入，得到负2倍sin 3x乘以sin负2x，化简为2倍sin 3x乘以sin 2x等于0。方法二是直接令cos x等于cos 5x，利用余弦函数的周期性质求解。从图像可以看出，两个函数在区间内的交点就是方程的解。 现在我们需要在给定区间[0, π/4]内确定有效解。从2倍sin 3x乘以sin 2x等于0，我们得到两种情况。情况一：sin 3x等于0，即3x等于k倍π，解得x等于k倍π除以3。当k等于0时，x等于0，这在区间内。当k等于1时，x等于π/3，约等于1.05，而π/4约等于0.785，所以π/3超出了区间范围。情况二：sin 2x等于0，即2x等于k倍π，解得x等于k倍π除以2。当k等于0时，x等于0，这也在区间内。综合两种情况，x等于0是在给定区间内的唯一解。 让我们对整个解题过程进行综合总结。首先，我们分析了函数f(x)等于sin x减去五分之一倍sin 5x的结构，识别出这是一个复合三角函数。然后运用链式法则计算导数，得到f'(x)等于cos x减去cos 5x。接着应用和差化积公式解方程f'(x)等于0，将其转化为2倍sin 3x乘以sin 2x等于0。最后在给定区间内验证解的有效性，确定x等于0是唯一解。这个解题过程展示了复合函数求导、三角恒等式应用和区间验证等关键技巧，为解决类似问题提供了完整的方法框架。